Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

#1

: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου 2.png (8.91 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

Στη βάση

ισοσκελούς τριγώνου ABC

θεωρούμε σημείο

ώστε

Να κατασκευάσετε ένα τέτοιο

τρίγωνο αν είναι γνωστό ότι τα μήκη των τμημάτων AB, BS, SA

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Nikitas K. · #2

: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου.png (37.99 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές

KARKAR · #3

: Τρίγωνο.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

Από Stewart : $AS=SC=\dfrac{b^2}{a}$ . Τώρα : $b+\dfrac{b^2}{a}=2(a-\dfrac{b^2}{a})$ , άρα : $a=\dfrac{3}{2}b$ .

Στη συνέχεια , η μεσοκάθετη της

δίνει το σημείο

. Στο παράδειγμα : BC=9

.

#4

george visvikis έγραψε: Παρ Ιαν 23, 2026 10:41 am Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου 2.png
Στη βάση ισοσκελούς τριγώνου θεωρούμε σημείο ώστε Να κατασκευάσετε ένα τέτοιο

τρίγωνο αν είναι γνωστό ότι τα μήκη των τμημάτων είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

.

: ισοσκ.png (30.82 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

.
Οι πλευρές έχουν μήκη $p+d,\, p,\, p-d$ για κάποια p,d

, όπως στο σχήμα αριστερά. Επειδή τα ισοσκελή τρίγωνα $ABC, \, ASC$ είναι όμοια (ίσες γωνίες) έχουμε

$\dfrac {p+d}{2p-d} =\dfrac {p-d}{p+d}$ , ισοδύναμα p^2=5pd

, και άρα

. Οπότε το τρίγωνο είναι το εικονιζόμενο δεξιά, το οποίο είναι κατασκευάσιμο.

Edit: Διόρθωσα τυπογταφικό στο σχήμα

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: Παρ Ιαν 23, 2026 10:41 am Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου 2.png
Στη βάση ισοσκελούς τριγώνου θεωρούμε σημείο ώστε Να κατασκευάσετε ένα τέτοιο

τρίγωνο αν είναι γνωστό ότι τα μήκη των τμημάτων είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Ανάλυση

Προφανώς οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα AB^2=CS..CB=AS(AS+SB)(1)

Επιπλέον ισχύει $BS= \dfrac{AB+AS}{2} (2)$ και με αντικατάσταση στην (1)

παίρνουμε

$2AB^2=3AS^2+AB.AS\Leftrightarrow 2( \dfrac{AB}{AS} )^2-\dfrac{AB}{AS}-3=0$ άρα

$\dfrac{AB}{AS}= \dfrac{3}{2}$ κι από τη $(2) \Rightarrow \dfrac{BS}{AS}= \dfrac{5}{4} \Rightarrow \dfrac{BS}{SC} =\dfrac{5}{4}$

Κατασκευή

Χωρίζουμε εσωτερικά το τμήμα

σε λόγο $\dfrac{5}{4}$

O κύκλος (S,SC)

τέμνει τη μεσοκάθετη της

στο σημείο

.

Το τρίγωνο ABC

είναι το ζητούμενο

: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου.png (32.21 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

#6

george visvikis έγραψε: Παρ Ιαν 23, 2026 10:41 am Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου 2.png
Στη βάση ισοσκελούς τριγώνου θεωρούμε σημείο ώστε Να κατασκευάσετε ένα τέτοιο

τρίγωνο αν είναι γνωστό ότι τα μήκη των τμημάτων είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Γράφω τον κύκλο , $\left( {A,AB} \right)$ .

Θα είναι , a + b = 2x

και αν $b - x = m \Leftrightarrow b = x + m$ . Με 0 < m < a < x < b

. Προφανώς , a = x - m

.
Επειδή , $SB \cdot SC = A{B^2} - A{S^2}$ ( δύναμη του σημείου

ή με ομοιότητα τριγώνων ) , θα ισχύει :
.

: κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου.png (15.01 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές

.
$x\left( {x - m} \right) = {\left( {x + m} \right)^2} - {\left( {x - m} \right)^2} \Rightarrow \boxed{x = 5m}$ . Το $\vartriangle ABC$ κατασκευάζεται αφού ξέρουμε τις πλευρές του :

$BC = 5m + 4m = 9m\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AB = AC = 6m$ .

Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση