Συλλογισμός

KARKAR · #1

: Συλλογισμός.png (16.85 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

Με αφορμή αυτή : Στην διάμετρο AB=d

, ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημεία Q , T

, τέτοια

ώστε : $AQ=\dfrac{d}{3}$ και : $TB=\dfrac{d}{9}$ .Υψώνουμε τα κάθετα στην

τμήματα :

και

.

Οι

τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε του λόγους : $\dfrac{SM}{MB}$ και : $\dfrac{AM}{MP}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 06, 2026 12:13 pm
Συλλογισμός.pngΜε αφορμή αυτή : Στην διάμετρο , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημεία , τέτοια

ώστε : $AQ=\dfrac{d}{3}$ και : $TB=\dfrac{d}{9}$ .Υψώνουμε τα κάθετα στην τμήματα : και .

Οι τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε του λόγους : $\dfrac{SM}{MB}$ και : $\dfrac{AM}{MP}$ .

Δεν αλλάζει κάτι από την άσκηση της παραπομπής. To

είναι μέσο του

και

: Συλλογισμός.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Αλλάζω λίγο την εκφώνηση και θεωρώ

το σημείο τομής του ημικυκλίου με την κάθετη στην

από το

και

την προβολή

του

στη διάμετρο. Το σχήμα τώρα έχει τις προδιαγραφές της άσκησης της παραπομπής. Αρκεί να δείξω λοιπόν ότι $AQ=\dfrac{d}{3}.$

Πράγματι, επειδή AP=3PT

θα είναι

δηλαδή $OQ=\dfrac{d}{6},$ οπότε $AQ=\dfrac{d}{3}.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 06, 2026 12:13 pm
Συλλογισμός.pngΜε αφορμή αυτή : Στην διάμετρο , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημεία , τέτοια

ώστε : $AQ=\dfrac{d}{3}$ και : $TB=\dfrac{d}{9}$ .Υψώνουμε τα κάθετα στην τμήματα : και .

Οι τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε του λόγους : $\dfrac{SM}{MB}$ και : $\dfrac{AM}{MP}$ .

Με

συμμετρικό του

ως προς

,προφανώς $AQ=QL=LB=\dfrac{d}{3}$

Με χρήση μετρικών σχέσεων στα ορθ.τρίγωνα ABS,APB

εύκολα παίρνουμε

$BS= \dfrac{d \sqrt{6} }{3} ,PB= \dfrac{d}{3} ,AS= \dfrac{d \sqrt{3} }{3} ,AP= \dfrac{2 \sqrt{2}d }{3}$ και ο Πτολεμαίος στο

ASPB

δίνει $SP=\dfrac{d \sqrt{3} }{3}=AS=SL$ άρα το SPBL

είναι χαρταετός.

Έτσι,οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα ASML

εγγράψιμμο, οπότε $ML \bot AB$

κι επειδή QL=LB

το

είναι μέσον της

$\dfrac{AM}{MP} = \dfrac{AM}{ML}= \dfrac{AB}{PB}= 3$ (αφού $\triangle AML \simeq \triangle APB$ )

: Συλλογισμός.png (25.38 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 06, 2026 12:13 pm
Συλλογισμός.pngΜε αφορμή αυτή : Στην διάμετρο , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημεία , τέτοια

ώστε : $AQ=\dfrac{d}{3}$ και : $TB=\dfrac{d}{9}$ .Υψώνουμε τα κάθετα στην τμήματα : και .

Οι τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε του λόγους : $\dfrac{SM}{MB}$ και : $\dfrac{AM}{MP}$ .

Χωρίς Πτολεμαίο..

Από την προηγούμενη ανάρτησή μου , $AS=SL= \dfrac{d \sqrt{3} }{3}$ και $PB=BL= \dfrac{d}{3}$ άρα $LT=\dfrac{2d}{9}$

Οι γωνίες x,y

είναι οξείες με

$cosy = \dfrac{PB}{AB}= \dfrac{ \dfrac{d}{3} }{d} = \dfrac{1}{3}$ κι από ν.συνημιτόνου

στο $\triangle ASL \Rightarrow cosx= \dfrac{1}{3}$ άρα x=y

επομένως και $\phi = \theta$

Έτσι SMLA

εγγράψιμμο,οπότε $ML \bot AB$ άρα

μέσον του

$ML//PT \Rightarrow \dfrac{AM}{MP}= \dfrac{AL}{LT}= \dfrac{ \dfrac{2d}{3} }{ \dfrac{2d}{9} }=3$

: Συλλογισμός.png (24.79 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές

Συλλογισμός

Συλλογισμός

Re: Συλλογισμός

Re: Συλλογισμός

Re: Συλλογισμός

Μέλη σε σύνδεση