Συμφωνούμε κάθετα

KARKAR · #1

: Συμφωνούμε κάθετα.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, έχει κάθετες πλευρές AB=9

και

. Επιλέξτε σημείο

της υποτείνουσας

τέτοιο ώστε αν η μεσοκάθετη του

(

το μέσο του ) , τέμνει την

στο σημείο

, να είναι : $SP \perp AM$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 12, 2026 12:21 pm Συμφωνούμε κάθετα.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές και . Επιλέξτε σημείο της υποτείνουσας

τέτοιο ώστε αν η μεσοκάθετη του ( το μέσο του ) , τέμνει την στο σημείο , να είναι : $SP \perp AM$ .

: Συμφωνούμε κάθετα.png (12.52 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 12, 2026 12:21 pm Συμφωνούμε κάθετα.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές και . Επιλέξτε σημείο της υποτείνουσας

τέτοιο ώστε αν η μεσοκάθετη του ( το μέσο του ) , τέμνει την στο σημείο , να είναι : $SP \perp AM$ .

Κατασκευή

Ο κύκλος (A,6)

τέμνει την

στο σημείο

και η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

Το συμμετρικό του

ως προς

είναι το ζητούμενο σημείο

Απόδειξη

Επειδή μπλε και κόκκινη γωνία είναι συμπληρωματικές, προφανώς $PS \bot AM$

Αν θέλουμε και υπολογισμούς,επειδή η

εφάπτεται του κύκλου (P,M,B)

είναι

$AM^2=AP.AB\Rightarrow 36=AP.9 \Rightarrow AP=4 \Rightarrow PB=PS=5$

: Συμφωνούμε κάθετα.png (25.68 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές

KARKAR · #4

: διερεύνηση.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Ακολουθώντας την σκέψη του Μιχάλη , μπορούμε να δείξουμε ότι γενικότερα είναι : $AP=x=\dfrac{b^2}{c}$ .

Έτσι , ορίζουμε το σημείο

, φέρουμε : $PM \perp BC$ και παίρνουμε : SM=MB

...

Συμπληρωματικό ερώτημα : Δείξτε ότι πρέπει : $\dfrac{b}{\sqrt{3}}<x<b$ .

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 12, 2026 12:21 pm Συμφωνούμε κάθετα.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές και . Επιλέξτε σημείο της υποτείνουσας

τέτοιο ώστε αν η μεσοκάθετη του ( το μέσο του ) , τέμνει την στο σημείο , να είναι : $SP \perp AM$ .

Στη γενική μορφή. Θέτω PB=x

και από την ομοιότητα των τριγώνων ABC, MBP

είναι $MP=\dfrac{bx}{a}, MB=MS=\dfrac{cx}{a}.$ Εξάλλου, $\displaystyle M{P^2} = PT \cdot PS \Leftrightarrow PT = \frac{{{b^2}x}}{{{a^2}}}.$

: Συμφωνούμε κάθετα.β.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές

$\displaystyle \cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta - 1 = \frac{{2{c^2} - {a^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{c^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{PT}}{{c - x}} \Leftrightarrow x = c - \frac{{{b^2}}}{c},$ απ' όπου

εντοπίζεται το σημείο

και η κατασκευή είναι πλέον απλή. Για την εφαρμογή $\boxed{PB=5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2026 6:09 am διερεύνηση.pngΑκολουθώντας την σκέψη του Μιχάλη , μπορούμε να δείξουμε ότι γενικότερα είναι : $AP=x=\dfrac{b^2}{c}$ .

Έτσι , ορίζουμε το σημείο , φέρουμε : $PM \perp BC$ και παίρνουμε : ...

Συμπληρωματικό ερώτημα : Δείξτε ότι πρέπει : $\dfrac{b}{\sqrt{3}}<x<b$ .

Στη γενική περίπτωση ,όταν b=c

δηλ. $\angle B= \angle C=45^0$ , ο κύκλος (A,b)

περνά από το

,συνεπώς

το

δεν είναι εσωτερικό σημείο της

(Αν $\angle C <45^0$ τότε το

επίσης δεν είναι εσωτερικό του

)

Όταν

το

ανήκει στο εσωτερικό του

κι όπως εργαστήκαμε στο στο post 3 είναι $x= \dfrac{b^2}{c}$

Έχουμε λοιπόν $B>45^0 \Rightarrow tanB>1 \Rightarrow \dfrac{c}{b} >1 \Rightarrow \dfrac{b^2}{c}<b \Rightarrow x<b$

Έστω ότι $\angle ACP =30^0$ .Τότε προφανώς το τρίγωνο AMC

είναι ισόπλευρο και το

είναι μέσον της

,αρα το συμμετρικό

του

ως προς

ταυτίζεται με το

συνεπώς το

δεν είναι εσωτερικό σημείο της

Αν

εσωτερικό της

θα αποδείξουμε ότι δεν μπορεί $\angle ACP<30^0$

Πράγματι ,τότε θα ήταν $\angle \theta >60^0 \Rightarrow \angle 3 \theta >180^0$ που προφανώς είναι άτοπο

Τελικά $\angle ACP>30^0$ άρα $tan ACP> \dfrac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow \dfrac{x}{b}> \dfrac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow x> \dfrac{b}{ \sqrt{3} }$

: Συμφωνούμε κάθετα2.png (42.68 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές

Συμφωνούμε κάθετα

Συμφωνούμε κάθετα

Re: Συμφωνούμε κάθετα

Re: Συμφωνούμε κάθετα

Re: Συμφωνούμε κάθετα

Re: Συμφωνούμε κάθετα

Re: Συμφωνούμε κάθετα

Μέλη σε σύνδεση