Μεσοκαθετότητα

KARKAR · #1

: Μεσοκαθετότητα.png (9.23 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, το σημείο

είναι το μέσο της διαμέσου

. Αν :

,

και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2026 10:55 am
Μεσοκαθετότητα.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της διαμέσου . Αν : ,

και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου .

: Μεσοκαθετότητα.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2026 10:55 am
Μεσοκαθετότητα.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της διαμέσου . Αν : ,

και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου .

: μεσοκαθετότητα.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

.
Mε αρχή των αξόνων το

είναι $A(0,2a), \, C(2c,0)$ , οπότε M(c,a)

. Αφού το

είναι στον άξονα των

και είναι το μέσον του

, έπεται

.

Η

δίνει

, ισοδύναμα a^2+c^2=9

. Η

δίνει

.

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε $a=\dfrac {\sqrt {33}}{3}$ και $c=\dfrac {4\sqrt {3}}{3}$ . Οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι

$E= \dfrac {1}{2}\cdot 3c\cdot 2a=\boxed { 4\sqrt {11}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2026 10:55 am
Μεσοκαθετότητα.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της διαμέσου . Αν : ,

και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου .

Με Μενέλαο στο BMC

και διατέμνουσα $\displaystyle \overline {ANS}$ προκύπτει SC=2BS,

άρα $\displaystyle BS = \frac{a}{3},CS = \frac{{2a}}{3}$

$\displaystyle {b^2} - {c^2} = C{S^2} - B{S^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{36 - {c^2} = \frac{{{a^2}}}{3}}$ (1)

: Μεσοκαθετότητα.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

Με θεώρημα διαμέσων, a^2+c^2=68

και από την (1)

έχω $a=4\sqrt 3, c=2\sqrt 5.$

Με τον τύπο του Ήρωνα τώρα (ή εναλλακτικά υπολογίζοντας το ύψος), παίρνω $\boxed{(ABC)=4\sqrt{11}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2026 10:55 am
Μεσοκαθετότητα.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της διαμέσου . Αν : ,

και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου .

είναι μέσα των υποτεινουσών BM,AC

των τριγώνων BMP,ASC

άρα

Έτσι,αν

μέσον της

με δεύτερο θ.διαμέσου έχουμε $MB^2-MC^2=2BC.SP\Rightarrow 16=3x^2 \Rightarrow x= \dfrac{4}{ \sqrt{3} } }$

κι από Π.Θ στο $\triangle ASC \Rightarrow AS= \dfrac{2 \sqrt{11} }{ \sqrt{3} }$ κι εύκολα $(ABC)= 4 \sqrt{11}$

: Μεσοκαθετότητα.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2026 10:55 am
Στο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της διαμέσου . Αν : ,

και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου .

: shape.png (25.92 KiB) Προβλήθηκε 45 φορές

Μεσοκαθετότητα

Μεσοκαθετότητα

Re: Μεσοκαθετότητα

Re: Μεσοκαθετότητα

Re: Μεσοκαθετότητα

Re: Μεσοκαθετότητα

Re: Μεσοκαθετότητα

Μέλη σε σύνδεση