Γωνίες σε κύκλους

KARKAR · #1

: Γωνίες σε κύκλους.png (30.7 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Ο κύκλος

διέρχεται από το κέντρο του (O,2)

και τον τέμνει στα σημεία

και

.

Από τυχόν σημείο

του

, φέρω τις SA , SB

, οι οποίες τέμνουν τον (K)

στα

.

α) Υπολογίστε το άθροισμα : $\phi+\omega$ ... β) Υπολογίστε το $\sin\theta$ ...γ) Υπολογίστε το τμήμα

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 20, 2026 8:31 pm
Γωνίες σε κύκλους.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του και τον τέμνει στα σημεία και .

Από τυχόν σημείο του , φέρω τις , οι οποίες τέμνουν τον στα .

α) Υπολογίστε το άθροισμα : $\phi+\omega$ ... β) Υπολογίστε το $\sin\theta$ ...γ) Υπολογίστε το τμήμα .

A)Λόγω των εγγράψιμων APCO,OCQB

κι επειδή τα τρίγωνα AOS,BOS

είναι ισοσκελή,οι μπλε

γωνίες είναι ίσες,όπως και οι κόκκινες,συνεπώς $\angle \phi = \angle ASB= \angle PCQ$

Αλλά $\angle PCQ+ \angle POQ=180^0 \Rightarrow \angle \phi + \omega =180^0$

B) $\angle \theta = \angle ACO \Rightarrow sin \theta =sinACO= \dfrac{AO}{OC} \Rightarrow sin \theta = \dfrac{1}{3}$

C) $sin \theta = \dfrac{OD}{OA} \Rightarrow \dfrac{1}{3}= \dfrac{OD}{2} \Rightarrow OD= \dfrac{2}{3} \Rightarrow DK=6- \dfrac{2}{3}= \dfrac{16}{3}$

$AD^2=OD.DK=\dfrac{2}{3}. \dfrac{16}{3} \Rightarrow OD= \dfrac{4 \sqrt{2} }{3} \Rightarrow AB= \dfrac{8 \sqrt{2} }{3}$

Αλλά λόγω της σχέσης επίκεντρης-εγγεγραμμένης στους δυο κύκλους θα είναι $\angle AOB= \angle PKQ=2 \phi$

Επομένως $\triangle AOB \simeq \triangle PKQ \Rightarrow \dfrac{AB}{x} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x= \dfrac{3AB}{2} \Rightarrow x=PQ=4 \sqrt{2}$

: Γωνίες σε κύκλους.png (73.49 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 20, 2026 8:31 pm
Γωνίες σε κύκλους.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του και τον τέμνει στα σημεία και .

Από τυχόν σημείο του , φέρω τις , οι οποίες τέμνουν τον στα .

α) Υπολογίστε το άθροισμα : $\phi+\omega$ ... β) Υπολογίστε το $\sin\theta$ ...γ) Υπολογίστε το τμήμα .

α) $\displaystyle OA = OB \Leftrightarrow O\widehat QB = O\widehat QA,$ άρα τα τρίγωνα QOS, QOA

είναι ίσα και $S\widehat AQ=\varphi=P\widehat TQ=180^\circ-\omega.$

: Γωνίες σε κύκλους.png (25.42 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

β) $A\widehat OK=\varphi$ και με νόμο συνημιτόνου στο AOK

βρίσκω $\displaystyle \cos \varphi = \frac{1}{3}.$

Αλλά, $\displaystyle A\widehat TO = \theta = 90^\circ - A\widehat OK = 90^\circ - \varphi \Leftrightarrow \sin \theta = \sin (90^\circ - \varphi ) = \cos \varphi \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin\theta=\frac{1}{3}}$

γ) $\displaystyle A\widehat OT = \varphi = A\widehat QT \Leftrightarrow AP||QT,$ άρα το APTQ

είναι ισοσκελές τραπέζιο,

οπότε $\displaystyle PQ = AT = \sqrt {O{T^2} - O{A^2}} = \sqrt {36 - 4} \Leftrightarrow$ $\boxed{PQ=4\sqrt 2}}$

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 20, 2026 8:31 pm
Γωνίες σε κύκλους.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του και τον τέμνει στα σημεία και .
Από τυχόν σημείο του , φέρω τις , οι οποίες τέμνουν τον στα .
α) Υπολογίστε το άθροισμα : $\phi+\omega$ ... β) Υπολογίστε το $\sin\theta$ ...γ) Υπολογίστε το τμήμα .

Και μόνο επειδή θέλω να περάσω κάποια Μαθηματικά μηνύματα ειδικά όταν μας παρακολουθούν και μαθητές που διψούν για την Γεωμετρία
μας, πέραν του "ψυχρού και μονότονου" άσκηση - λύση, έστω κα αν αισθανόμαστε νιοί, επιτρέψτε μου και την εξής διαπραγμάτευση,
στο παρακάτω ισοδύναμο περιβάλλον, αφού το μήκος της χορδής EQ,

διατηρείται σταθερό καθ' όλη την κίνηση της κορυφής

στο τόξο που κινείται (?)

Η εδώ λύση:
$\displaystyle\frac{\omega }{2} + \eta = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \omega + 2\eta = \pi \Rightarrow \omega + \varphi = \pi ,\;\,\,\sin \theta = \frac{{OA}}{{OV}}\;...$

: KAR-KAR.png (69.82 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές

Γωνίες σε κύκλους

Γωνίες σε κύκλους

Re: Γωνίες σε κύκλους

Re: Γωνίες σε κύκλους

Re: Γωνίες σε κύκλους

Μέλη σε σύνδεση