Τριχοτομημένη χορδή

KARKAR · #1

: Τριχοτόμηση χορδής.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

Το σημείο

βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (O , r)

. Να αχθεί χορδή

του κύκλου , διερχόμενη από το

, τέτοια ώστε : SA=2SB

.

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 04, 2026 5:08 pm Τριχοτόμηση χορδής.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου . Να αχθεί χορδή

του κύκλου , διερχόμενη από το , τέτοια ώστε : .

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !

Η ακτίνα του κύκλου είναι

και το

έχει σταθερό μήκος, έστω

Θέτω

: Τριχοτομημένη χορδή.Κ.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

AS \cdot SB = {r^2} - {d^2} \Leftrightarrow 2{x^2} = {r^2} - {d^2} \Leftrightarrow

\boxed{x = \sqrt {\dfrac{{{r^2} - {d^2}}}{2}} }

Στο σχήμα φαίνονται οι δύο θέσεις της χορδής

(θα ψάξω για κατασκευή χωρίς υπολογισμούς).

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 04, 2026 5:08 pm Τριχοτόμηση χορδής.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου . Να αχθεί χορδή

του κύκλου , διερχόμενη από το , τέτοια ώστε : .

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !

Eίναι

GS=\sqrt{2}x,AG=AS=x,SB=2x

Mε κάποιες πράξεις ...από ΠΘ

GSO,R^{2}=d^{2}+2x^{2},GM=MS=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}, MA\perp SG,GM=MS=MA,AG=AS=x,xR^{2}+SB.R^{2}=(x+SB)(d^{2}+xSB)\Rightarrow SB=2x

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 04, 2026 5:08 pm Τριχοτόμηση χορδής.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου . Να αχθεί χορδή

του κύκλου , διερχόμενη από το , τέτοια ώστε : .

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !

: Τριχοτ.png (26.43 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

.
Με κανόνα και διαβήτη, χωρίς καθόλου πράξεις. Εργαζόμαστε με την τομή δύο γεωμετρικών τόπων:

Φέρνουμε μεταβλητή χορδή B'A'

διαμέσου του

. Βρίσκουμε τώρα α) τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

του τμήματος SA'

(είναι η πράσινη γραμμή) και β) τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

όπου

B'S=SN

(είναι η κόκκινη γραμμή). Οι δύο αυτοί τόποι είναι κύκλοι λόγω ομοιοθεσίας (άμεσο). Ο μεν κόκκινος είναι ίσος με τον δοθέντα, ο δε πράσινος έχει την μισή διάμετρο του δοθέντα. Οι κύκλου αυτοί σχεδιάζονται εύκολα από συγκεκριμένα σημεία τους. Τα ευκολότερα είναι ο βόρειος και ο νότιος πόλος τους. Οι λεπτομέρειες άμεσες.

Έστω

η τομή των δύο τόπων (υπάρχουν δύο τέτοια σημεία, αλλά στο σχήμα χρησιμοποίησα το ένα). Φέρνουμε την χορδή

η οποία έστω ότι τέμνει τον δοθέντα στα σημεία

B, \, A

. Τα σημεία αυτά είναι τα ζητούμενα διότι εξ ορισμού

BS=SC

λόγω του κόκκινου κύκλου και

SC=CA

λόγω του πράσινου κύκλου. Δηλαδή

\boxed {BS=SC=CA}

, ισοδύναμα

\boxed {2BS=SA}

, όπως θέλαμε.

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 04, 2026 5:08 pm Τριχοτόμηση χορδής.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου . Να αχθεί χορδή

του κύκλου , διερχόμενη από το , τέτοια ώστε : .

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !

Κατασκευή χωρίς υπολογισμούς.

: Τριχοτομημένη χορδή.Κ2.png (15.58 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Προεκτείνω την

κατά τμήμα

SK=2OS

και γράφω τον κύκλο

(K, 2r)

που τέμνει τον αρχικό (εν γένει) σε δύο

σημεία A, A'.

Οι

AS, A'S

επανατέμνουν τον (O, r)

στα

αντίστοιχα. Οι AB, A'B'

είναι οι ζητούμενες χορδές.

Για να έχουμε λύση πρέπει

OS\ge \dfrac{r}{3}.

(με το ίσον έχουμε μία λύση, ενώ με το μεγαλύτερο, δύο).

Παρατήρηση: Το πρόβλημα γενικεύεται για

\dfrac{SA}{SB}=\lambda

και αντιμετωπίζεται ανάλογα.

#6

george visvikis έγραψε: Τετ Αύγ 05, 2026 9:57 am
KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 04, 2026 5:08 pm Τριχοτόμηση χορδής.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου . Να αχθεί χορδή

του κύκλου , διερχόμενη από το , τέτοια ώστε : .

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !
Κατασκευή χωρίς υπολογισμούς.
Τριχοτομημένη χορδή.Κ2.png
Προεκτείνω την κατά τμήμα $SK=2OS$ και γράφω τον κύκλο $(K, 2r)$ που τέμνει τον αρχικό (εν γένει) σε δύο

σημεία Οι $AS, A'S$ επανατέμνουν τον στα αντίστοιχα. Οι είναι οι ζητούμενες χορδές.

Για να έχουμε λύση πρέπει $OS\ge \dfrac{r}{3}.$ (με το ίσον έχουμε μία λύση, ενώ με το μεγαλύτερο, δύο).

Παρατήρηση: Το πρόβλημα γενικεύεται για $\dfrac{SA}{SB}=\lambda$ και αντιμετωπίζεται ανάλογα.

,

10/10

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Αύγ 05, 2026 4:57 am
KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 04, 2026 5:08 pm Τριχοτόμηση χορδής.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου . Να αχθεί χορδή

του κύκλου , διερχόμενη από το , τέτοια ώστε : .

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !
.
Με κανόνα και διαβήτη, χωρίς καθόλου πράξεις. Εργαζόμαστε με την τομή δύο γεωμετρικών τόπων:

Φέρνουμε μεταβλητή χορδή διαμέσου του . Βρίσκουμε τώρα α) τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος (είναι η πράσινη γραμμή) και β) τον γεωμετρικό τόπο του σημείου όπου $B'S=SN$ (είναι η κόκκινη γραμμή). Οι δύο αυτοί τόποι είναι κύκλοι λόγω ομοιοθεσίας (άμεσο). Ο μεν κόκκινος είναι ίσος με τον δοθέντα, ο δε πράσινος έχει την μισή διάμετρο του δοθέντα. Οι κύκλου αυτοί σχεδιάζονται εύκολα από συγκεκριμένα σημεία τους. Τα ευκολότερα είναι ο βόρειος και ο νότιος πόλος τους. Οι λεπτομέρειες άμεσες.

Έστω η τομή των δύο τόπων (υπάρχουν δύο τέτοια σημεία, αλλά στο σχήμα χρησιμοποίησα το ένα). Φέρνουμε την χορδή η οποία έστω ότι τέμνει τον δοθέντα στα σημεία $B, \, A$ . Τα σημεία αυτά είναι τα ζητούμενα διότι εξ ορισμού

λόγω του κόκκινου κύκλου και $SC=CA$ λόγω του πράσινου κύκλου. Δηλαδή $\boxed {BS=SC=CA}$ , ισοδύναμα $\boxed {2BS=SA}$ , όπως θέλαμε.

Μιχάλη καλημέρα από Γρεβενά...

Μου άρεσε πολύ η ιδέα σου αυτή!!
Μέσα από την κινητικότητα των δυο αυτών μετασχηματισμών που "διέκρινες" στην άσκηση αυτή
έδωσες τη λύση με καθαρό γεωμετρικό τρόπο!
Όμως επειδή η κινητικότητα αυτή με προκαλεί, θα αναρτήσω ένα σχήμα στατικό με λίγα σχόλια καθώς
και το αντίστοιχο δυναμικό για εκείνους που αρέσκονται σε τέτοιους ορίζοντες...

Σχήμα 1

: Τριχοτομημένη χορδή 1.png (32.31 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Στο σχήμα αυτό θεωρήθηκε ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{A}$ επί του δοθέντος κύκλου και το σταθερό σημείο $\displaystyle{S}$ .

Το μέσο $\displaystyle{M}$ του τμήματος $\displaystyle{SB}$ είναι το ομοιόθετο του σημείου $\displaystyle{B}$ ως προς κέντρο το σημείο $\displaystyle{S}$

και λόγο $\displaystyle{l=0.5}$ . Άρα το σημείο $\displaystyle{M}$ ανήκει στον ομοιόθετο κύκλο του δοθέντος κύκλου ως προς τα ίδια

στοιχεία. Ο κόκκινος κύκλος.

Όμοια το σημείο $\displaystyle{N}$ που είναι το συμμετρικό του σημείου $\displaystyle{A}$ ως προς το σημείο $\displaystyle{S}$ είναι το ομοιόθετο

του σημείου $\displaystyle{A}$ ως προς το κέντρο $\displaystyle{S}$ και λόγο

l_1=-1

. Άρα ο πράσινος κύκλος είναι ο ομοιόθετος

του δοθέντος με τα ίδια στοιχεία ομοιοθεσίας. (Βέβαια η ομοιοθεσία αυτή ουσιαστικά είναι η κεντρική συμμετρία)

Η τομή των δύο αυτών κύκλων δίνει τη ζητούμενη λύση.

Στο δυναμικό σχήμα θα δείτε την εξέλιξη των δυο αυτών μετασχηματισμών καθώς και την τελική κίνηση του τυχαίου

σημείου $\displaystyle{A}$ επί του δοθέντος κύκλου.

https://www.geogebra.org/m/puvapsxg

Κώστας Δόρτσιος

#8

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 04, 2026 5:08 pm Τριχοτόμηση χορδής.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου . Να αχθεί χορδή

του κύκλου , διερχόμενη από το , τέτοια ώστε : .

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !

Έστω κύκλος $\left( {O,r} \right)$ και σημείο ,

εσωτερικό του σε απόσταση

από το

.

Γράφουμε τον ομόκεντρο κύκλο $\Omega$ , $\left( {O,d} \right)$ και κρύβουμε προσωρινά το

. Με κέντρο τυχαίο σημείο ,

του $\left( {O,r} \right)$

γράφουμε νέο κύκλο ,

\left( {H,2d} \right)

που τέμνει εν γένει τον $\Omega$ σε δύο σημεία έστω ${M_2}$ το ένα απ’ αυτά .

Από το

φέρνουμε παράλληλο στην

H{M_2}

που τέμνει τον $\Omega$ στο

{M_3}

. Η ευθεία

{M_2}{M_3}

τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$

στα

{M_1}\,\,,\,\,{M_4}

( εξ ευωνύμων και εκ δεξιών) είναι προφανές ότι

{M_2}{M_3} = {M_3}{M_4}

: Χορδή που έχει τριχοτομηθεί_κατασκευή.png (37.24 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Επειδή το απόστημα του

στις χορδές

{M_1}{M_4}\,\,,\,\,{M_2}{M_3}\,

περνάει από το κοινό τους μέσο θα είναι τελικά :

\boxed{{M_1}{M_2} = {M_2}{M_3} = {M_3}{M_4}}

.

Τώρα εμφανίζουμε το

που προφανώς είναι κάποιο σημείο του $\Omega$ . Γράφουμε κύκλο με κέντρο το

και

Ακτίνα το

\boxed{{M_1}{M_3}}

και τέμνει τον αρχικό $\left( {O,r} \right)$ σε δυο σημεία , ας πούμε

το ένα .

Η ημιευθεία

τέμνει ακόμα στο

τον $\left( {O,r} \right)$

\boxed{AS = {M_1}{M_3} = \frac{2}{3}{M_1}{M_4}}

, άρα

.

KARKAR · #9

: Τριχοτομημένη χορδή συνέχεια.png (19.88 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές

Η λύση του Γιάννη (STOPJOHN) , παραπάνω καθίσταται ορθή , μόνο στην περίπτωση που το σημείο

έχει ορισμένη απόσταση

από το κέντρο του κύκλου (O , r)

. Υπολογίστε αυτή την απόσταση .

STOPJOHN · #10

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 07, 2026 6:53 pm Τριχοτομημένη χορδή συνέχεια.pngΗ λύση του Γιάννη (STOPJOHN) , παραπάνω καθίσταται ορθή , μόνο στην περίπτωση που το σημείο

έχει ορισμένη απόσταση από το κέντρο του κύκλου . Υπολογίστε αυτή την απόσταση .

Συμπληρώνω τη λύση και απαντώ στο ερώτημα

GN=NA=NS=x,GS=x\sqrt{2},SB=2x,\hat{GAB}=90^{0},GB^{2}=GA^{2}+AB^{2}\Rightarrow d=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.r,r^{2}-d^{2}=2x^{2}

Τριχοτομημένη χορδή

Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Re: Τριχοτομημένη χορδή

Μέλη σε σύνδεση