Αναλογία και ισότητα

KARKAR · #1

: Ανάλογα και ίσα.png (24.7 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές

Στο σχήμα έχουμε τους κύκλους

(O , R) , (K , r)

και την ευθεία $\varepsilon$ . α) Εντοπίστε σημείο

της ευθείας , τέτοιο ώστε για τα εφαπτόμενα τμήματα SA , SD

, να είναι :

\dfrac{SA}{SD}=\dfrac{R}{r}

.

β) Αν η

τέμνει τους δύο κύκλους και στα σημεία B, C

, δείξτε ότι :

AB= CD

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 09, 2026 9:25 am Ανάλογα και ίσα.pngΣτο σχήμα έχουμε τους κύκλους $(O , R) , (K , r)$ και την ευθεία $\varepsilon$ . α) Εντοπίστε σημείο

της ευθείας , τέτοιο ώστε για τα εφαπτόμενα τμήματα , να είναι : $\dfrac{SA}{SD}=\dfrac{R}{r}$ .

β) Αν η τέμνει τους δύο κύκλους και στα σημεία , δείξτε ότι : $AB= CD$ .

α) Γράφω τον Απολλώνιο κύκλο του οποίου τα σημεία

ικανοποιούν τη σχέση

\dfrac{MO}{MK}=\dfrac{R}{r}.

Ο κύκλος αυτός τέμνει την ευθεία $(\epsilon)$ στο ζητούμενο σημείο

(γενικά έχουμε δύο σημεία τομής).

: Αναλογία και ισότητα.png (27.23 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές

Πράγματι, επειδή εκ κατασκευής είναι

\dfrac{SO}{SK}=\dfrac{R}{r}

και τα τρίγωνα

ASO, DSK

είναι ορθογώνια,

εύκολα προκύπτει ότι

\boxed{\dfrac{SA}{SD}=\dfrac{R}{r}}

Θα επανέλθω για να απαντήσω στο β ερώτημα.

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 09, 2026 9:25 am
...β) Αν η τέμνει τους δύο κύκλους και στα σημεία , δείξτε ότι : $AB= CD$ .

Για το β). Έστω OM, KN

τα αποστήματα των χορδών AB, CD.

Είναι,

\sin \theta = \dfrac{{AB}}{{2R}},\sin \omega = \dfrac{{CD}}{{2r}}

: Αναλογία και ισότητα.β.png (27.97 KiB) Προβλήθηκε 43 φορές

Νόμος Ημιτόνων στο SAD,

\dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{\sin \omega }}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \dfrac{R}{r} = \dfrac{{R \cdot CD}}{{r \cdot AB}} \Leftrightarrow

$\boxed{AB=CD}$

Αναλογία και ισότητα

Αναλογία και ισότητα

Re: Αναλογία και ισότητα

Re: Αναλογία και ισότητα

Μέλη σε σύνδεση