Εφαπτόμενοι Κύκλοι...

giannimani · #1

Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ABCD

στο οποίο

.
Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών DBA

και

τέμνουν τις μεσοκαθέτους των
ευθυγράμμων τμημάτων

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων DAC

και

DEF

εφάπτονται.

: convex_quadr.png (102.58 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

Dimessi · #2

: Πανέμορφο από Γιάννη Μανίκα στο φόρουμ.png (253.08 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές

$\bullet$ Έστω

J\equiv AD\cap \left ( DEF \right )\left ( J\neq D \right ),Q\equiv DC\cap \left ( DEF \right )\left ( Q\neq D \right ),K\equiv EB\cap \left ( DEF \right )\left ( K\neq E \right ),L\equiv BF\cap \left ( DEF \right )\left ( L\neq F \right ),

X\equiv EB \cap AD, Y\equiv BF\equiv DC,S\equiv BA \cap (E,EA)(S\neq A), G\equiv BC \cap (F,FC)(G\neq C).

Είναι

και

μεσοκάθετοι των

DS,DG

αντίστοιχα

\Longrightarrow \angle ESA=\angle EDB\overset{\angle EDX=\angle EBD}=\angle EXD

και

\angle CGF=\angle BDF \overset{\angle DBF=\angle FDY}=\angle DYF \Longrightarrow ESAX

και

FYCG

εγγράψιμα κι αφού από τις συμμετρίες ως προς BE,BF

είναι

DS=DB=DG \overset{DB=DC}\Longrightarrow SACG

ισοσκελές τραπέζιο

\Longrightarrow BE\cdot BX\overset{S\in (EAX)}=BA\cdot BS=BC\cdot BG\overset{G\in (FYC)}=BF\cdot BY

\Longrightarrow EXYF

εγγράψιμο και από Θεώρημα Reim στους κύκλους

(EXYF),(DEF),

είναι

XY\parallel KL.

Είναι

\dfrac{DY}{YC}\overset{\left ( \Theta .\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon \vartriangle DBC \right )}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BD}{BA}\overset{\left ( \Theta .\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon \vartriangle DAB \right )}=\dfrac{DX}{XA}\Longrightarrow XY\parallel AC \overset{XY\parallel KL}\Longrightarrow XY\parallel KL\parallel AC.

Από Θεώρημα Reim στους κύκλους

(ABD),(DEF)

είναι

JK\parallel AB

και από Θεώρημα Reim στους κύκλους

(BCD),(EDF)

είναι

QL\parallel BC.

Είναι

\dfrac{AJ}{JX}\overset{JK\parallel AB}=\dfrac{BK}{KX}\overset{KL\parallel XY}=\dfrac{BL}{LY}\overset{QL\parallel BC}=\dfrac{CQ}{QY}\overset{XY\parallel AC}\Longrightarrow JQ\parallel AC,

επομένως θεωρώντας την ομοιοθεσία κέντρου

και λόγου

\dfrac{JQ}{AC},

έχουμε ότι οι κύκλοι

(EDF)\equiv (DJQ)

και

εφάπτονται . $\blacksquare$

: Πανέμορφο από Γιάννη Μανίκα στο φόρουμ.png (253.08 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές

giannimani · #3

Στο ευθύγραμμο τμήμα

θεωρούμε σημείο

τέτοιο ώστε BP=AB=BC

. Έστω

το σημείο τομής
της διχοτόμου

με την

. Στο ισοσκελές τρίγωνο ABP

η διχοτόμος

θα είναι ύψος και διάμεσος,
δηλαδή, η

μεσοκάθετος του

, οπότε

EA=EP=ED

από το οποίο προκύπτει ότι το

ανήκει στη
μεσοκάθετο του

. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το

ανήκει στη μεσοκάθετο του

.
Επομένως,

EF \bot BD

.

: problquadr_sol.png (122.79 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές

Θα χρησιμοποιήσουμε τους επόμενους συμβολισμούς:

\angle ABE=\angle EBD=\alpha

,

\angle CBF=\angle FBD=\beta

.
Έστω

και

τα κέντρα των κύκλων (DAC)

και

(DEF)

αντίστοιχα.
Το σημείο

ως σημείο τομής της μεσοκαθέτου της

και της διχοτόμου της γωνίας ABD

ανήκει
στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABD$ . Όμοια, το

ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle BCD$ .
Έστω $O_{1}$ και $O_{2}$ τα κέντρα αυτών των κύκλων. Είναι προφανές ότι τόσο τα σημεία

,

, και $O_{1}$ όσο
και τα σημεία

,

, και $O_{2}$ είναι συνευθειακά.
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BAED

έχουμε ότι

\angle ABE=\angle EDA=\alpha

.

Για να αποδείξουμε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται αρκεί τα κέντρα

και

να ανήκουν στην ίδια ευθεία με το

.
Γιαυτό, αρκεί να αποδείξουμε ότι

\angle KDE-\angle ODA=\angle ADE=\alpha

.
Έχουμε,

\angle ODA=90^{\circ}-\angle ACD

,

KDE=90^{\circ}-\angle EFD

(ως γωνίες μεταξύ ακτίνας και πλευράς). Επομένως,

\angle KDE- \angle ODA=90^{\circ}-\angle EFD- 90^{\circ}+\angle ACD= \angle ACD- \angle EFD

.

Αλλά,

\angle ACD- \angle EFD= \angle ACD- 90^{\circ}+\angle BDF=\angle ACD-90^{\circ}+180^{\circ}-\angle BCF=

= \angle ACD +90^{\circ}-\angle BCA-\angle ACD=\angle DCF=90^{\circ}-90^{\circ}+\alpha+\beta-\beta=\alpha

,
που είναι αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε.

Εφαπτόμενοι Κύκλοι...

Εφαπτόμενοι Κύκλοι...

Re: Εφαπτόμενοι Κύκλοι...

Re: Εφαπτόμενοι Κύκλοι...

Μέλη σε σύνδεση