Παραγωγή ισοπλεύρου

[Doloros]

Αν θέλουμε, ακόμη, κάποια κορυφή να είναι συγκεκριμένο σημείο, οι παρακάτω κατασκευές χρειάζονται προσαρμογές. Θα επανέλθω, αν χρειαστεί, αλλά για την ώρα μένω στο πρόβλημα της εγγραφής (το οποίο είναι σαφώς πιο ενδιαφέρον και έχει άπειρες θέσεις που επιλύουν το πρόβλημα).

Μέθοδος 1. Από τυχαίο της φέρνουμε ημιευθείες που σχηματίζουν γωνίες , όπως στο σχήμα. Φέρνουμε το ώστε να σχηματίζει με την γωνία . Τότε από το εγγράψιμο , το είναι το ζητούμενο. Απόδειξη τετριμμένη.
.

.
Ας δούμε μία περίπτωση τέτοιας προσαρμογής, στην Μέδοδο 1: Αν θέλουμε η μία κορυφή του ζητούμενου τριγώνου να είναι το μέσον μίας πλευράς (όπως ακριβώς ζητά το αρχικό πρόβλημα), δεν έχουμε παρά να πάρουμε το σε τέτοια θέση ώστε η να διέρχεται από το μέσον της (κατασκευή τετριμμένη). Τότε το έχει τις ζητούμενες γωνίες και μία κορυφή του, η , είναι σε προκαθορισμένη θέση.

Ευχαριστούμε τον Κ. Λάμπρου για την πλήρη κατατόπιση επί του θέματος

[KARKAR]

Παραγωγή νέα.png (24.04 KiB) Προβλήθηκε 1144 φορές

Υποψιάζομαι ότι ο Μιχάλης εννοεί την λύση του σχήματος , όπου το είναι σημείο της

από το οποίο η φαίνεται υπό γωνία . Έτσι παίρνουμε μια ακόμη πολύ ωραία λύση ,

ίσως όμως ο χαρακτηρισμός του προβλήματος ως "πανεύκολο" να είναι κάπως υπερβολικός .

Εκ των υστέρων διαπιστώνω ότι η παραπάνω λύση είναι ίδια με εκείνη του Νίκου , άρα εκείνη

του Μιχάλη θα είναι διαφορετική , όπως άλλωστε σημειώνει παρακάτω .

[Mihalis_Lambrou]

Υποψιάζομαι ότι ο Μιχάλης εννοεί την λύση του σχήματος , όπου το είναι σημείο της

.
Θανάση, ήμουν σαφής. Το δεδομένο μέσο είναι το , όπως τονίζω:
.

δεν έχουμε παρά να πάρουμε το σε τέτοια θέση ώστε η να διέρχεται από το μέσον της (κατασκευή τετριμμένη). Τότε το έχει τις ζητούμενες γωνίες και μία κορυφή του, η , είναι σε προκαθορισμένη θέση.

.
Άλλωστε, όπως ανέφερα σε κάποιο ποστ παραπάνω, χρησιμοποιώ διαφορετική ονομασία των σημείων από την αρχική διατύπωση του προβλήματος, και αυτό γιατί ήθελα να ξεφύγω από το τρίγωνο για να ασχοληθώ με γενικό τριγωνο.
.

ίσως όμως ο χαρακτηρισμός του προβλήματος ως "πανεύκολο" να είναι κάπως υπερβολικός .

.
Ο χαρακτηρισμός "πανεύκολο" αφορούσε την εγγραφή τριγώνου με δεδομένες γωνίες μέσα σε δοθέν. Και επιμένω ότι είναι εύστοχος. Για παράδειγμα η Μέθοδος 2 στο ποστ #18 είναι απλούστατη. Τι λιγότερο θα μπορούσε να έχει;

Κάποια ώρα θα γράψω και απλή λύση (διαφορετική από τις παραπάνω) για την περίπτωση του με μία κορυφή στο μέσον πλευράς. Θα δούμε ότι αν μία κορυφή είναι στο μέσον, απλοποιείται το γενικό πρόβλημα.

[ΝΙΚΟΣ]

Αξίζει τον κόπο.

Αν το είναι τυχαίο ή το μέσο της .
Από το φέρουμε ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών και από το ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών. Γράφουμε το κύκλο που επανατέμνει την γενικά στο . To τρίγωνο είναι ισόπλευρο γιατί έχει μοιρών και μοιρών.


Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
ΕΓΡΑΨΑΝ - ΕΙΠΑΝ
https://drive.google.com/file/d/1evwKsq ... lSCTw/view

Εγγραφή ισοπλεύρου σε τρίγωνο_δια χειρός ΚΥΡΙΑΖΗ ΝΙΚΟΥ.png

Εκπληκτικής απλότητας και ομορφιάς κατασκευή και τεκμηρίωση


Έχει πολλές ομοιότητες με τη λύση του , αλλά εδώ είναι το κάτι άλλο .

Νίκο σε ευχαριστώ παραπολύ.

Επίσης σε ενημερώνω ότι έχω επιτύχει να τεκμηριώσω την απόδειξη της λύσης του φύλου duamba που βασίζεται σε σχετικό γ.τ.
Θα προσπαθήσω να τα αναρτήσω (το γ.τ. και την τεκμηρίωση) αν μπορέσω, γιατί βρίσκω πολλά εμπόδια κυρίως τεχνικά,


Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !

Αγαπητοί φίλοι, προκειμένου να είμαι συνεπής με την παραπάνω υπόσχεσή μου (ποστ ) και να εξιχνιασθεί το ηαίνιγμα που παραμένει σε πολλούς, θα τεκμηριώσω με το παρακάτω συνημμένο μου τη λύση (μάλλον εικασία) του φίλου duambaα, αφού πρώτα παρουσιάσω λεπτομερώς, τον γ.τ., στον οποίο θα βασισθεί και η παραπάνω αναφερόμενη τεκμηρίωση.


Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

Είναι τυχαίο που προστριβές μόνο με τον κ. Μ. Λάμπρου έχω και με τους κ.κ. Γεν. Συντονιστές, οι οποίοι πάντοτε τον υποστηρίζουν και ας μην έχει δίκιο; Οι υπόλοιποι Μαθηματικοί μόνο καλά και επαινετικά λόγια έγραψαν για μένα και το έργο μου:
ΕΔΩ
και
ΕΔΩ
ποστ136, 137 και 138.

[KARKAR]

... δεν έχουμε παρά να πάρουμε το σε τέτοια θέση ώστε η να διέρχεται από το μέσον της (κατασκευή τετριμμένη). Τότε το έχει τις ζητούμενες γωνίες και μία κορυφή του, η , είναι σε προκαθορισμένη θέση.

.
Άλλωστε, όπως ανέφερα σε κάποιο ποστ παραπάνω, χρησιμοποιώ διαφορετική ονομασία των σημείων από την αρχική διατύπωση του προβλήματος, και αυτό γιατί ήθελα να ξεφύγω από το τρίγωνο για να ασχοληθώ με γενικό τριγωνο.

Κάποια ώρα θα γράψω και απλή λύση (διαφορετική από τις παραπάνω) για την περίπτωση του με μία κορυφή στο μέσον πλευράς. Θα δούμε ότι αν μία κορυφή είναι στο μέσον, απλοποιείται το γενικό πρόβλημα.

Εκκρεμότητα.png (23.03 KiB) Προβλήθηκε 1076 φορές

Μιχάλη , συμπάθα με αλλά δεν μπόρεσα να κατανοήσω την λύση που προτείνεις .

Σύμφωνα με το συμβολισμό σου και την εκφώνηση , θέλουμε το σημείο να βρίσκεται σε προκαθορισμένη

θέση της πλευράς ( είναι το της αρχικής δημοσίευσης ) . Το να είναι το μέσο της ,

δεν φαίνεται να οδηγεί σε λύση . Ίσως απαιτείται κάποια διευκρίνιση ...

[Mihalis_Lambrou]

Θανάση. γύρνα το σχήμα σου δεξιόστροφα ώστε η βάση να γίνει η (και παραμένει το μέσον της). Αν θέλεις να αλλάξεις τα ονόματα των κορυφών ώστε η βάση να ονομάζεται , δεν έχει διαφορά.

Εν ευθέτω χρόνω θα δώσω και προσαρμογή της Μεθόδου 3 ώστε είναι η μία κορυφή στο μέσον πλευράς. Επίσης θα δώσω και μία τέταρτη μέθοδο ειδικά για τρίγωνο με κορυφή στο μέσον πλευράς.

[KARKAR]

Παραγωγή νέα.png (24.04 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Τώρα είμαστε εντάξει . Η λύση βέβαια αυτή είναι ίδια με εκείνη του Νίκου .

[duamba]

Ευχαριστώ θερμότατα τον κ. Νίκο Κυριαζή που μου "χάρισε" την τεκμηρίωση της κατασκευής μου. Χάρηκα πάρα πολύ με την συμμετοχή του στην συζήτηση.
Ακολουθεί το σχήμα της απόδειξης του.

paragwgi-isoplevrou-NK-tek.png (40.31 KiB) Προβλήθηκε 1051 φορές

Επίσης ευχαριστώ πάλι τον KARKAR και τον Doloros, όπως και τον κ. Λάμπρου για τις μεθόδους που μοιράστηκε (και τα πικάντικα σχόλια του!).