Ισοσκελή , διαφορά και τόπος

[KARKAR]

Ισοσκελή , διαφορά και τόπος.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Στο τρίγωνο , με , το είναι το μέσο της και το κινείται στην προέκτασή της .

Τα σημεία είναι οι προβολές του στους φορείς των ίσων πλευρών και το είναι το μέσο του .

α) Δείξτε ότι ... β) Δείξτε ότι η διαφορά : είναι σταθερή .

γ) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου . Αν σας εξυπηρετεί δώστε Καρτεσιανή λύση !

[Doloros]

α)Τα σημεία : ανήκουν στο κύκλο διαμέτρου . Η γωνία οπότε προφανώς η διχοτομεί την και άρα .

β) Είναι γνωστό ότι η διαφορά ισούται με το μήκος του ύψους του σταθερού ισοσκελούς τριγώνου που άγεται από το ή το .

Ας δούμε όμως ένα τρόπο γι’ αυτό.

Ισοσκελή διαφορά και τόπος.png (38.64 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

Φέρνω από το κάθετη στην που την τέμνει στο και την στο .

Το τετράπλευρο είναι χαρταετός με ορθές τις γωνίες του στα άρα το

. αλλά το είναι ίσο με το ύψος από το .

γ) Ας είναι οι προβολές των στην .

Για τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα και επειδή έχουν σταθερή διαφορά των υποτεινουσών τους

Θα έχουν και σταθερή διαφορά των , οπότε το που ισούται με την ημιδιαφορά των διαγωνίων του τραπεζίου θα είναι :

και άρα το ανήκει σε σταθερή παράλληλη ευθεία προς την .

Ο γ. τ. ορίζεται από την αντίστοιχη ημιευθεία της πιο πάνω ευθείας με αρχή την οριακή θέση του σημείου .


Παρατήρηση .


Το ότι η διαφορά είναι σταθερή προκύπτει πιο αναλυτικά ως εξής :

Αν η προβολή του στην το ορθογώνιο τρίγωνο έχει την

υποτείνουσα σταθερή (β ερώτημα) και την γωνία σταθερή , άρα

και την σταθερή .