Γεωμετρικός τόπος σε τετράπλευρο

[Al.Koutsouridis]

Οι πλευρές και ενός κυρτού τετράπλευρου εμβαδού είναι μη παράλληλες. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων , που βρίσκονται στο εσωτερικό του τετράπλευρου, για τα οποία .

[rek2]

Εν αναμονή, άλλης, πληρέστερης, λύσης, και, για να ανοίξει συζήτηση:

Έστω τα ύψη των τριγώνων αντιστοίχως. Τότε

σταθερό.

Για τις αποστάσεις, λοιπόν, του από τις ευθείες ισχύει η παραπάνω σχέση που, ως γνωστό , δίνει μια ευθεία για γ τ. του

Τώρα, όμως, η κατασκευή της, λόγω του πως μπορεί να γίνει με απλό τρόπο;

[Al.Koutsouridis]

Για τις αποστάσεις, λοιπόν, του από τις ευθείες ισχύει η παραπάνω σχέση που, ως γνωστό , δίνει μια ευθεία για γ τ. του

Τώρα, όμως, η κατασκευή της, λόγω του πως μπορεί να γίνει με απλό τρόπο;

Πράγματι. Έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Στις ημιευθείες κατασκευάζουμε τα τμήματα , ίσα με τα τμήματα και αντίστοιχα. Τότε . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό, το είναι σταθερό άρα και το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό. Δηλαδή το σημείο βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη προς την (σταθερή).

Έστω τα μέσα των διαγωνίων του τετράπλευρου . Παρατηρούμε ότι





Δηλαδή τα σημεία ανήκουν στον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το κομμάτι ευθείας, που βρίσκεται στο εσωτερικό του και διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του.

Να σημειώσουμε ότι η παραπάνω ευθεία ονομάζεται ευθεία Νιούτον, η δε ιδιότητα των εμβαδών θεώρημα Anne. Άμεση συνέπεια του οποίου για περιγράψιμο τετράπλευρο, είναι το θεώρημα Νιούτον.

geometrikos_topos_apo_emvadon_se_tetrapleuro.png (192.03 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές