Καθετότητα και ισότητα

KARKAR · #1

: Καθετότητα και ισότητα.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Η διάμετρος

του κύκλου (K , r)

είναι μεσοκάθετη στην χορδή

και το

είναι το αντιδιαμετρικό του

. Η

τέμνει την μεσοκάθετο της

στο

.

α) Αν

είναι το μέσο της

, δείξτε ότι η γωνία $\widehat{TMS}$ , είναι ορθή .

β) Υπολογίστε την

- συναρτήσει της

- έτσι ώστε : KT=2r

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 20, 2024 7:35 pm
Καθετότητα και ισότητα.pngΗ διάμετρος του κύκλου είναι μεσοκάθετη στην χορδή και το είναι το αντιδιαμετρικό του . Η τέμνει την μεσοκάθετο της στο .
α) Αν είναι το μέσο της , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{TMS}$ , είναι ορθή .
β) Υπολογίστε την - συναρτήσει της - έτσι ώστε : .

α) Ας είναι P,L

οι ορθές προβολές των M,S

στις ευθείες CT,CM

αντίστοιχα. Τότε με $SC\bot CT$ (από τη διάμετρο

και $KM\bot CM$ (αφού K,M

τα μέσα των πλευρών BC,AC

του τριγώνου $\vartriangle ABC$ , οπότε $KM\parallel AB$ και $AB\bot AC\equiv MC$ (αφού

διάμετρος) ) θα είναι PC,ML

οι προβολές της

στις ευθείες CT,CM

αντίστοιχα.

Τότε με $\angle PCM\overset{AC\parallel NS}{\mathop{=}}\,\angle CNK\overset{KN=KC}{\mathop{=}}\,\angle KCN\equiv \angle KCT\overset{\angle MPC=\angle TKC={{90}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $\vartriangle MPC\sim \vartriangle TKC\Rightarrow \dfrac{PC}{CK}=\dfrac{CM}{CT}\overset{CK=r=KS=ML}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PC}{ML}=\dfrac{CM}{CT}:\left( 1 \right)$

Από τη σχέση $\left( 1 \right)$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι $SM\bot TM$ και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

: καθετότητα και ισότητα.png (42.79 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

β) Είναι $\angle LAS\overset{A,S,N,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle CNK\overset{KN=KC=r}{\mathop{=}}\,\angle KCN\equiv \angle KCT$
$\overset{\angle ALS=\angle CKT={{90}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle ALS\sim \vartriangle CKT\Rightarrow$ $\dfrac{AL}{SL}=\dfrac{CK}{TK}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AL=\dfrac{SL}{2}\overset{Q\equiv NS\cap AB}{\mathop{\Rightarrow }}\,SQ=\dfrac{AQ}{2}=\dfrac{AB}{4}$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ASN\overset{AQ\bot NS}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $A{{Q}^{2}}=SQ\cdot QN\Rightarrow$
$\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{AB}{4}\cdot \left( 2r-\dfrac{AB}{4} \right)\Rightarrow AB=2r-\dfrac{AB}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{8r}{5}$ και το δεύτερο ζητούμενο έχει υπολογιστεί .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 20, 2024 7:35 pm
Καθετότητα και ισότητα.pngΗ διάμετρος του κύκλου είναι μεσοκάθετη στην χορδή και το

είναι το αντιδιαμετρικό του . Η τέμνει την μεσοκάθετο της στο .

α) Αν είναι το μέσο της , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{TMS}$ , είναι ορθή .

β) Υπολογίστε την - συναρτήσει της - έτσι ώστε : .

Για το β) ερώτημα.

: Καθετότητα και ισότητα.Κ.png (26.16 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

$\displaystyle B\widehat KT = B\widehat NT = 90^\circ,$ άρα το NKBT

είναι εγγράψιμο και οι πράσινες γωνίες είναι ίσες.

Οπότε τα τρίγωνα KBT, BSN, DSB

είναι όμοια. Αλλά, $\displaystyle \frac{{KB}}{{TK}} = \frac{r}{{2r}} = \frac{1}{2}.$ Επομένως:

$\displaystyle ND= 2BD = AB,DS = \frac{{BD}}{2} = \frac{{AB}}{4} \Rightarrow 2r = ND + DS = AB + \frac{{AB}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{AB=\frac{8r}{5}}$

KARKAR · #4

Αλλιώς το πρώτο ερώτημα :

: Καθετότητα και ισότητα συμπλ.png (27.7 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

Προεκτείνω την

κατά ίσο τμήμα MS'

. Τα υπόλοιπα στο ( περίπλοκο ) σχήμα .

Τίτλος : Η τρίτη μεσοκάθετος !

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 22, 2024 12:41 pm
Αλλιώς το πρώτο ερώτημα : Καθετότητα και ισότητα συμπλ.pngΠροεκτείνω την κατά ίσο τμήμα . Τα υπόλοιπα στο ( περίπλοκο ) σχήμα .

Τίτλος : Η τρίτη μεσοκάθετος !

mathematica.gr

Καθετότητα και ισότητα

Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Μέλη σε σύνδεση