Περί εφαπτομένης

#1

: Περί εφαπτομένης.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές

Έστω

σημεία των πλευρών AB, AC

αντίστοιχα, σκαληνού τριγώνου ABC,

ώστε το

να είναι εγγράψιμο.

Αν

είναι το σημείο τομής των BD, CE

και

τα μέσα των BC, DE

αντίστοιχα, να δείξετε ότι η

εφάπτεται

στον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία O, M, N.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

: Περί εφαπτομένης.png (38.01 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Φέρνουμε τις ON, OM

και

. Έστω πως η

τέμνει την

στο

και πως η

τέμνει τις

και

στα

και

.

Αρκεί να αποδείξουμε πως $\widehat{NMO}=\widehat{NOA}$ .

Επειδή τα τρίγωνα EOD

και

είναι όμοια, θα είναι ίσες όλες οι αντίστοιχες γωνίες τους, άρα $\widehat{NOD}=\widehat{MOC}$ .
Επομένως αρκεί $\widehat{NMO}+\widehat{MOC}=\widehat{NOA}+\widehat{NOD}\Leftrightarrow \widehat{MSC}=\widehat{POD}$

Αρκεί τα τρίγωνα MSC

και

να είναι όμοια. Αυτά έχουν $\widehat{SCM}=\widehat{ECB}=\widehat{EDB}=\widehat{PDO}$ .

Αρκεί λοιπόν $\widehat{SMC}=\widehat{OPD}$ , δηλαδή αρκεί το PRMN

να είναι εγγράψιμο.

Προεκτείνουμε τις

και

και έστω πως τέμνονται στο

.

Από το πλήρες τετράπλευρο AEOD.BC

έχουμε πως οι διαγώνιές του

και

τέμνουν την διαγώνιο του

στα σημεία

και

άρα έχουμε πως η τετράδα (K, P, E, D)

είναι αρμονική. Όμοια και η τετράδα (K, R , B, C)

είναι αρμονική. Επομένως από τη σχέση Mac Laurian για τα μέσα

και

έχουμε πως:

$KE\cdot KD=KP\cdot KN$

$KB\cdot KC=KR\cdot KM$ .

Όμως από το εγγράψιμο BEDC

έχουμε πως $KE\cdot KD=KB\cdot KC$ , άρα $KP\cdot KN=KR\cdot KM$ , άρα το PRMN

να είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

Περί εφαπτομένης

Περί εφαπτομένης

Re: Περί εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση