Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις

#1

: Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

είναι η διχοτόμος οξυγώνιου τριγώνου ABC

και

η προβολή του

στην

Αν

να

βρείτε την μικρότερη ακέραιη τιμή της πλευράς BC=a

που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για αυτή την

τιμή του

να δείξετε ότι η AC^2

είναι γινόμενο δύο πρώτων αριθμών.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 4:29 pm
Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις.png
είναι η διχοτόμος οξυγώνιου τριγώνου και η προβολή του στην Αν να

βρείτε την μικρότερη ακέραιη τιμή της πλευράς που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για αυτή την

τιμή του να δείξετε ότι η είναι γινόμενο δύο πρώτων αριθμών.

Ανάλυση

Η πλευρά

μπορεί να πάρει τις ακέραιες τιμές 5,6,7,8

για να έχουμε οξυγώνιο τρίγωνο .

Με BC = 5

θα είναι $AD = 6k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 5k\,\,\,,\,\,k > 0$ ( Θ. διχοτόμου).

Αν η

κόψει την ευθεία

στο

και θέσω

από Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα $\overline {EDT}$ θα προκύψει:

$\dfrac{{AE}}{{EB}} \cdot \dfrac{{BT}}{{TC}} \cdot \dfrac{{CD}}{{DA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{x + 5}}{x} \cdot \dfrac{5}{6} = 1 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{25}}{7}}$ .

Κατασκευή
Κατασκευάζω το ορθογώνιο τρίγωνο EBT

με υποτείνουσα $BT = \dfrac{{60}}{7}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB = 4$ .

Προεκτείνω την

πέραν του

κατά τμήμα EA = 2

και ενώνω το

με το σημείο

του

έτσι ώστε : BC = 5

.

Οι $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ET$ τέμνονται στο

.

: Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις_ok.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Απόδειξη

Εύκολα έχω πάλι με Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle ABC$ με την ίδια διατέμνουσα ότι $\boxed{\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{6}{5}}$ και άρα η

διχοτομεί την γωνία $\widehat {{B_{}}}$ .

Υπολογισμός της πλευράς AC = b

.

Πάλι με Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle EBT$ και με διατέμνουσα $\overline {ADC}$ βρίσκω , $\dfrac{{DT}}{{DE}} = \dfrac{{15}}{7}\,\,\left( 1 \right)$

και αφού $DE + DT = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{60}}{7}} \right)}^2} - 16} \,\,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει : $DE = \dfrac{8}{{\sqrt {11} }}$ και από το Π. Θ.

στο $\vartriangle AED$ προκύπτει : $\boxed{{k^2} = \dfrac{3}{{11}} \Rightarrow {{\left( {11k} \right)}^2} = 33 = {b^2}}$

#3

Έστω

το ύψος του τριγώνου και FE=x.

Η γωνία $\widehat A$ είναι προφανώς οξεία και αφού θέλουμε και η $\widehat B$ να είναι

οξεία, το

θα είναι εσωτερικό σημείο του AB.

Είναι, $\displaystyle \frac{2}{x} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{6}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{a}{3}}$ (1)

: Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις.β.png (11.75 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

$\displaystyle A{C^2} - {a^2} = A{F^2} - F{B^2} = 6(AF - FB) = 12(x - 1)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{AC^2=a^2+4a-12}$

Απομένει να είναι η $\widehat C$ οξεία. Δηλαδή, $\displaystyle A{C^2} + {a^2} > 36 \Leftrightarrow {a^2} + 2a - 24 > 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{a > 0}$ $\boxed{a>4}$

Άρα η ζητούμενη τιμή της

είναι $\boxed{a=5}$ Τότε, $\displaystyle A{C^2} = 33 = 3 \cdot 11$ που είναι γινόμενο δύο πρώτων αριθμών.

Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις

Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις

Re: Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις

Re: Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις

Μέλη σε σύνδεση