Παράλογοι

KARKAR · #1

: Παράλογοι.png (16.55 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Οι κύκλοι (O,2)

και

, με διάκεντρο : OK=4

, τέμνονται στα σημεία

και

.

Το τμήμα

είναι το πλησιέστερο προς το

, κοινό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων .

Από το

διέρχεται τμήμα $PQ\parallel ST$ . Βρείτε δύο από τους λόγους : $\dfrac{PB}{BQ} , \dfrac{PB}{ST} , \dfrac{ST}{BQ}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 14, 2022 7:31 pm
Παράλογοι.pngΟι κύκλοι και , με διάκεντρο : , τέμνονται στα σημεία και .

Το τμήμα είναι το πλησιέστερο προς το , κοινό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων .

Από το διέρχεται τμήμα $PQ\parallel ST$ . Βρείτε δύο από τους λόγους : $\dfrac{PB}{BQ} , \dfrac{PB}{ST} , \dfrac{ST}{BQ}$ .

Για το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας ,

, των δύο κύκλων έχω: $JO = \dfrac{{rd}}{{R - r}} = \dfrac{{2 \cdot 4}}{{3 - 2}} = 8$ .

$u = ST = JT - JS = \sqrt {{{12}^2} - {3^2}} - \sqrt {{8^2} - {2^2}} = \sqrt {15}$ .

Ας είναι M,N

τα μέσα των $PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BQ$ . Θέτω $MB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NB = y$ και άρα $PB = 2x + 2y = 2\sqrt {15}$ .

Από την ομοιότητα των $\vartriangle MQO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SJO$ :

$\dfrac{{MQ}}{{JS}} = \dfrac{{OQ}}{{OJ}} \Rightarrow \dfrac{{x + 2y}}{{2\sqrt {15} }} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow x + 2y = \dfrac{7}{4}\sqrt {15}$ κι αφού $x + y = u = MN = \sqrt {15}$ έχω:

: Παράλογοι.png (24.91 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x = \frac{1}{4}\sqrt {15} \hfill \\ y = \frac{3}{4}\sqrt {15} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , οπότε: $\left\{ \begin{gathered} \frac{{PB}}{{BQ}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \hfill \\ \frac{{PB}}{{ST}} = \frac{{2x}}{u} = \frac{1}{2} \hfill \\ \frac{{ST}}{{BQ}} = \frac{u}{{2y}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 14, 2022 7:31 pm
Παράλογοι.pngΟι κύκλοι και , με διάκεντρο : , τέμνονται στα σημεία και .

Το τμήμα είναι το πλησιέστερο προς το , κοινό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων .

Από το διέρχεται τμήμα $PQ\parallel ST$ . Βρείτε δύο από τους λόγους : $\dfrac{PB}{BQ} , \dfrac{PB}{ST} , \dfrac{ST}{BQ}$ .

Με $OD \bot OK \Rightarrow OD=ST=MN=x+y= \sqrt{15}$ .

Ακόμη,από Ήρωνα $(AOK)= \dfrac{3 \sqrt{15} }{4}\Rightarrow AE= \dfrac{3 \sqrt{15} }{8} \Rightarrow OE= \dfrac{11}{8}$

Αν $OZ \bot PA$ λόγω του εγγράψιμμου AOZE

κι επειδή

τα τρίγωνα AOP,OID

έχουν ίσες γωνίες

Επειδή $OI=IK=ID=2=OA=OP\Rightarrow \triangle AOP= \triangle OID \Rightarrow AP=OD=ST= \sqrt{15}$

Με Π.Θ στο τρίγωνο $AOZ\Rightarrow OZ= \dfrac{1}{2}$ κι ο Πτολεμαίος στο AOZE

δίνει $x= \dfrac{ \sqrt{15} }{4} \Rightarrow y= \dfrac{3 \sqrt{15} }{4} \Rightarrow \dfrac{PB}{BQ}= \dfrac{1}{3}$

Ακόμη, $\dfrac{PB}{ST}= \dfrac{2x}{ \sqrt{15} }= \dfrac{1}{2}$ και $\dfrac{ST}{BQ}= \dfrac{x+y}{2y} = \dfrac{2}{3}$

: Παράλογοι.png (93.16 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Παράλογοι

Παράλογοι

Re: Παράλογοι

Re: Παράλογοι

Μέλη σε σύνδεση