Ώρα εφαπτομένης 149

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 149.png (18.81 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Στο επίπεδο του τετραπλεύρου ABCD

γράφουμε κύκλους (K) , (O)

, διερχόμενους από το

και εφαπτόμενους στα άκρα B , D

των πλευρών AB , AD

αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι οι κύκλοι εφάπτονται και μεταξύ τους και μάλιστα η κοινή τους εσωτερική εφαπτομένη

διέρχεται από το

... β) Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 01, 2023 8:02 pm
Ώρα εφαπτομένης 149.pngΣτο επίπεδο του τετραπλεύρου γράφουμε κύκλους , διερχόμενους από το

και εφαπτόμενους στα άκρα των πλευρών αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι οι κύκλοι εφάπτονται και μεταξύ τους και μάλιστα η κοινή τους εσωτερική εφαπτομένη

διέρχεται από το ... β) Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Το τετράπλευρο $\,ABCD\,$ κατασκευάζεται εύκολα γιατί άμεσα κατασκευάζεται το ισοσκελές $\vartriangle ABD\left( {5 - 120^\circ - 5} \right)$ .

Μετά στο $\vartriangle BCD$ ξέρω την

( δεν χρειάζεται να υπολογιστεί , αλλά αν θέλετε είναι $5\sqrt 5$ ) ,

την απέναντι γωνία $\widehat {DCB} = 120^\circ$ και την DC = 6

( αν θέλετε ακόμα είναι $BC = 4\sqrt 3 - 3$ ).

Αφού τώρα κατασκευαστεί το τετράπλευρο $\,\,ABCD\,\,$ θεωρώ τις προβολές, $\,E\,\kappa \alpha \iota \,\,Z\,\,$ του

στις $\,DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CZ\,$ .

: Ώρα εφαπρομένης 149_1.png (23.81 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

Οι κάθετες στα $\,\,D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,\,$ επί τις $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ τέμνονται στο

και οι $AE\,\,,\,\,AZ$ τέμνουν τις $DQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BQ$ στα $O'\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K'$ .

Τα $\,A,B,Q,D\,$ ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου

και κέντρου

. προφανώς

$\widehat {DLB} = \widehat {BAD} = \widehat {DCB} = 120^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {Q_{}^{}} = 60^\circ$ . Τώρα στον κύκλο $\left( {A,AB} \right)$ ανήκουν τα $\,B,C,L,D\,$

: Ώρα εφαπρομένης 149_b_ok.png (24.83 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

Ενώ τα $\,E,Z\,$ είναι τα μέσα των $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CZ$ και έτσι

$\boxed{O' \equiv O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K' \equiv K}$ . Τα ζεύγη : $AD\,\,,\,\,AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB,AC\,\,$ είναι εφαπτόμενα τμήματα

στους κύκλους $\left( O \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( K \right)$ και το πρώτο ερώτημα έχει απαντηθεί

Μετά απ’ αυτά: $\boxed{\tan \theta = \tan {\theta _1} = \frac{{SE}}{{EA}} = \frac{3}{4}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 01, 2023 8:02 pm
Ώρα εφαπτομένης 149.pngΣτο επίπεδο του τετραπλεύρου γράφουμε κύκλους , διερχόμενους από το

και εφαπτόμενους στα άκρα των πλευρών αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι οι κύκλοι εφάπτονται και μεταξύ τους και μάλιστα η κοινή τους εσωτερική εφαπτομένη

διέρχεται από το ... β) Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

α) Αν οι

τέμνονται στο

τότε προφανώς το TDB

είναι ισόπλευρο και η

μεσοκάθετη του BD.

Επειδή όμως

$\displaystyle D\widehat AB = 120^\circ = 2(180^\circ - D\widehat CB),$ το

θα είναι περίκεντρο του BCD,

δηλαδή

και

κατά συνέπεια το

κοινό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων.

: Ώρα εφαπτομένης 149.png (23.27 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

β) Αν

είναι η ακτίνα του κύκλου (O)

τότε από θεώρημα Πτολεμαίου στο ACOD

θα είναι

$\displaystyle 10R = 6AO \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{R}{{AO}} = \frac{3}{5}$ και $\boxed{\tan \theta=\frac{3}{4}}$

Ώρα εφαπτομένης 149

Ώρα εφαπτομένης 149

Re: Ώρα εφαπτομένης 149

Re: Ώρα εφαπτομένης 149

Μέλη σε σύνδεση