Από σταθερό σημείο 22

[KARKAR]

Από σταθερό σημείο 22.png (28.8 KiB) Προβλήθηκε 1316 φορές

Δύο άνισοι κύκλοι τέμνονται στα σημεία και . Ευθεία διερχόμενη από το , ξανατέμνει τους

δύο κύκλους στα σημεία . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από σταθερό σημείο .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Από σταθερό σημείο 22.pngΔύο άνισοι κύκλοι τέμνονται στα σημεία και . Ευθεία διερχόμενη από το , ξανατέμνει τους

δύο κύκλους στα σημεία . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από σταθερό σημείο .

Αν για την τυχαία , η μεσοκάθετη αυτής περνά από σταθερό σημείο, ,τότε και η μεσοκάθετη της

σταθερής με θα διέρχεται από το ίδιο σημείο

Από τα εγγράψιμμα και λόγω της παραλληλίας ,το είναι ορθογώνιο

Έτσι το προσδιορίζεται ως το συμμετρικό του ως προς το μέσο του σταθερού τμήματος

Σταθερό σημείο 22.png (29.68 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές

[S.E.Louridas]

Από σταθερό σημείο 22.pngΔύο άνισοι κύκλοι τέμνονται στα σημεία και . Ευθεία διερχόμενη από το , ξανατέμνει τους
δύο κύκλους στα σημεία . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από σταθερό σημείο .

Το τρίγωνο διατηρεί τις γωνίες του, άρα διατηρείται όμοιο προς τον εαυτόν του. Άρα και το τρίγωνο διατηρείται όμοιο προς τον εαυτόν του, οπότε η γωνία διατηρεί το μέγεθός της και επειδή «βλέπει» το σταθερό ευθύγραμμο τμήμα , θα βαίνει σε σταθερό τόξο σταθερού κύκλου, έστω . Άρα η μεσοκάθετη θα διέρχεται από το σταθερό αντιδιαμετρικό του σημείου , έστω στον κύκλο αυτό.

ga.png (64.77 KiB) Προβλήθηκε 1224 φορές

[giannimani]

Αν , τα κέντρα των δύο κύκλων, τότε το μέσο της διακέντρου ισαπέχει
των μέσων , των ευθυγράμμων τμημάτων , (γνωστή ιδιότητα του
ορθογώνιου τραπεζίου ).
Με την ομοιοθεσία κέντρου και συντελεστή ομοιοθεσίας , το μεταφέρεται στο ,
το στο , και το στο σημείο .
Εφόσον και , και , τότε ,
δηλαδή, το ανήκει στη μεσοκάθετο του , και προφανώς είναι σταθερό σημείο
ως εικόνα του σταθερού σημείου με την θεωρηθείσα ομοιοθεσία.

from_const_point.png (28.56 KiB) Προβλήθηκε 1198 φορές

[Mihalis_Lambrou]

To ξαδελφάκι της άσκησης αυτής είναι αυτό.

Οι παραπάνω ωραίες λύσεις ουσιαστικά βρίσκουν πρώτα τον γεωμετρικό τόπο του , και μπορούν να προστεθούν στην παραπομπή που παραθέτω. Ιδιαίτερη εντύπωση μου έκανε η γρήγορη και κομψή λύση του Σωτήρη.

[S.E.Louridas]

To ξαδελφάκι της άσκησης αυτής είναι αυτό.

Οι παραπάνω ωραίες λύσεις ουσιαστικά βρίσκουν πρώτα τον γεωμετρικό τόπο του , και μπορούν να προστεθούν στην παραπομπή που παραθέτω. Ιδιαίτερη εντύπωση μου έκανε η γρήγορη και κομψή λύση του Σωτήρη.

Μιχάλη καταρχήν, αλλά και καταρχάς σε ευχαριστώ.
Απλά να αναφέρω ότι για να καταλήξω σε αυτή τη λύση «δούλεψα» μέσα μου τη γενίκευση που παραθέτω και που αντιμετωπίζεται με την ίδια ακριβώς μέθοδο επίλυσης (Και την οποία γενίκευση προτείνω από εδώ αν βέβαια μου το επιτρέπει ο εισηγητής):

Έστω τα σημεία τομής δύο κύκλων που τα κέντρα τους ευρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας . Θεωρούμε τυχούσα τέμνουσα και σημείο στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος τέτοιο που όπου δοθέντα ευθύγραμμα τμήματα. Αποδείξτε ότι η ευθεία που περνά από το σημείο και σχηματίζει με την δοθείσα γωνία περνά από σταθερό σημείο.