Τρομακτική ισότητα

KARKAR · #1

: Τρομακτική ισότητα.png (21.57 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Κύκλος διερχόμενος από τις κορυφές B , D

του παραλληλογράμμου ABCD

τέμνει τις πλευρές AB , AD

στα σημεία S , P

αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε δεύτερο κύκλο , ίσο με τον πρώτο , ο οποίος διερχόμενος επίσης

από τις κορυφές B , D

, τέμνει τις πλευρές CB , CD

στα σημεία T , Q

αντίστοιχα . Αν η

τέμνει τους

δύο κύκλους , διαδοχικά στα σημεία L , N

, δείξτε ότι : PL=QN

.

#2

Από συμμετρία ως προς το μέσον της

(που απεικονίζει τον έναν κύκλο στον άλλον) προκύπτει παραλληλία των

και

, οπότε είναι ισοσκελές τραπέζιο το PSNL'

(όπου

το συμμετρικό του

, ομοκυκλικό των P, S, N

) και παραλληλόγραμμο το PSTQ

(λόγω

). Είναι επομένως ισοσκελές τραπέζιο και το NTQL',

καθώς

άρα έχει ίσες διαγωνίους, QN=TL'.

Λόγω συμμετρίας και πάλι, TL'=PL

. Συμπεραίνουμε ότι QN=PL.

[Το ότι το ABCD

είναι παραλληλόγραμμο χρειάζεται για τις Q=S', P=T'

: η ως προς κέντρο συμμετρία απεικονίζει τα SB, TB

σε παράλληλα προς αυτά τμήματα, και επειδή το

απεικονίζεται στο

και οι

είναι ήδη παράλληλες προς τις SB, TB,

τα

οφείλουν να κείνται ΚΑΙ επί των DC, DA

(αντίστοιχα) ΚΑΙ επί του πράσινου κύκλου και του κόκκινου κύκλου (αντίστοιχα).]

: δίκυκλη-ισότητα.png (68.8 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2023 9:08 am
Τρομακτική ισότητα.pngΚύκλος διερχόμενος από τις κορυφές του παραλληλογράμμου τέμνει τις πλευρές

στα σημεία αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε δεύτερο κύκλο , ίσο με τον πρώτο , ο οποίος διερχόμενος επίσης

από τις κορυφές , τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα . Αν η τέμνει τους

δύο κύκλους , διαδοχικά στα σημεία , δείξτε ότι : .

Ας είναι

τα κέντρα των δυο ίσων κύκλων.Τότε το DOBK

είναι ρόμβος ,άρα οι μαύρες γωνίες του σχήματος είναι ίσες.

Επίσης κάθε μια από τις μπλε γωνίες είναι διπλάσια της ροζ γωνίας άρα κι αυτές είναι ίσες ,οπότε και $\angle DOQ= \angle SKB$ ,

συνεπώς τα τρίγωνα DOQ,KSB

είναι ίσα,άρα $DQ=//BS \Rightarrow DQBS$ παραλ/μμο ,άρα DS=BQ

και

$\angle DQB= \angle DSB$ ,επομένως $\angle \theta = \angle \phi$ άρα QT=PS

και

Επειδή $\angle CQT= \angle TBD= \angle PDB= \angle PSA$ τα τρίγωνα QCT,PSA

είναι ίσα,άρα CT=AP

οπότε

συνεπώς η διαγώνιος

του παραλ/μμου DPBT

περνά από το μέσον

του

Τότε όμως οι διαγώνιοι του PQTS

διχοτομούνται ,άρα PQ//TS

και το

είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε ES=ZT

Αλλά και

είναι ισοσκελή τραπέζια (αφού όλα τα πράσινα τμήματα είναι ίσα).Άρα PL=ES=ZT=QN

: τρομακτική ισότητα.png (76.79 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

Τρομακτική ισότητα

Τρομακτική ισότητα

Re: Τρομακτική ισότητα

Re: Τρομακτική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση