Παραλληλόγραμμο και δύο ίσες γωνίες

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 13, 2023 1:30 pm
Παραλληλόγραμμο και ίσες γωνίες.png

Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι διαγώνιες τέμνονται στο , ώστε ο κύκλος $\left( A,B,M \right)$ να τέμνει την πλευρά σε σημείο διαφορετικό του σημείου και ο περίκυκλος του $\vartriangle \,EMD$ να τέμνει το τμήμα σ’ ένα σημείο διαφορετικό από το . Θέλουμε να δείξουμε ότι $\measuredangle \,ACB=\measuredangle \,DCF$ .

Νομίζω Ορέστη ότι η άσκηση είναι ιδιαίτερα εύκολη και μάλλον ταιριάζει στο φάκελο της Α’ Λυκείου

: Παραλληλόγραμμο και δύο ίσες γωνίες.png (36.08 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Έστω $\left( K \right),\left( L \right)$ οι περίκυκλοι των τριγώνων $\vartriangle ABM,\vartriangle EMD$ αντίστοιχα. Τότε
$\angle EFD=\angle EMD$ (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του $\left( L \right)$ ) $=\angle BAE$ (εξωτερική – απέναντι εσωτερική του εγγεγραμμένου στον $\left( K \right)$ τετραπλεύρου ABME

) $=\angle BAD$ (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου) , οπότε το τετράπλευρο BCDF

είναι εγγράψιμο σε κύκλο (εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική) και συνεπώς $\angle FCD=\angle FBD\equiv \angle EBM\overset{B,M,E,A\in \left( K \right)}{\mathop{=}}\,\angle MAE\equiv \angle CAD\overset{AD\parallel BC}{\mathop{=}}\,\angle ACB$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

Παραλληλόγραμμο και δύο ίσες γωνίες

Παραλληλόγραμμο και δύο ίσες γωνίες

Re: Παραλληλόγραμμο και δύο ίσες γωνίες

Μέλη σε σύνδεση