Ιδιότητα Αρμονικού Τετραπλεύρου

[sakis1963]

2023.12.15.FB138xx mathematica.jpg (37.25 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές

Έστω κύκλος , μια χορδή του και το μέσον της.

Ο κύκλος με κέντρο και διάμετρο ίση με , τέμνει την χορδή στα σημεία ( πιο κοντά στο ).

Αν , τυχαίο σημείο του , διάφορο από τα και , ,

δείξτε ότι το είναι αρμονικό

[rek2]

Αρκεί η δέσμη, PA, PC, PD, PB να είναι αρμονική.

Προς τούτο αρκεί η σημειοσειρά A, Y, X, B να είναι αρμονική. Αυτό είναι απλό να επαληθευτεί, αφού οι αποστάσεις AX, XY, YB είναι, προφανώς, γνωστές, συναρτήσει του α, οπότε υπολογίζεται ο αντίστοιχος διπλός λόγος ίσος με 1.

[sakis1963]

2023.12.15.FB138xx mathematica2.jpg (38.81 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Ας είναι και

Τότε και

Από λήμμα 2, έχουμε:

και αντικαθιστώντας τα έχουμε που σημαίνει ότι το είναι αρμονικό