Επαφές τριπλού τύπου

[KARKAR]

Επαφές τριπλού τύπου.png (27.11 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Από σημείο του μεγάλου κύκλου φέραμε τις εφαπτόμενες προς τον εσωτερικό κύκλο , χορδές .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του μικρού κύκλου . Για ποιες θέσεις του , προκύπτει : ;

[Al.Koutsouridis]

Επαφές τριπλού τύπου.pngΑπό σημείο του μεγάλου κύκλου φέραμε τις εφαπτόμενες προς τον εσωτερικό κύκλο , χορδές .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του μικρού κύκλου .

Έστω οι ακτίνες των κύκλων με κέντρο τα σημεία αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι ισχύει (1).

Έστω τα σημεία επαφής του κύκλου με τις ευθείες αντίστοιχα, το δεύτερο σημείο τομής του κύκλου με την ευθεία και το αντιδιαμετρικό σημείο του ως προς το κύκλο .

Από δύναμη σημείου ως προς κύκλο έχουμε , που λόγω της (1) γράφεται (2)

Από την ομοιότητα των τριγώνων και έχουμε

, που λόγω της (2) προκύπτει .

Οπότε στο εγγεγραμμένο τρίγωνο ισχύει , που από γνωστό λήμμα προκύπτει ότι το σημείο είναι το κέντρο του εγγεγραμένου στο τρίγωνο κύκλου. Άρα η ευθεία θα εφάπτεται του κύκλου .

geogebra-export.png (146.99 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

[Doloros]

Επαφές τριπλού τύπου.pngΑπό σημείο του μεγάλου κύκλου φέραμε τις εφαπτόμενες προς τον εσωτερικό κύκλο , χορδές .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του μικρού κύκλου . Για ποιες θέσεις του , προκύπτει : ;

Βλέποντας την ωραία πιο πάνω πλήρη λύση του πρώτου ερωτήματος , μήπως μπορούμε άραγε να πούμε :


Έστω ένα κύκλος εγγεγραμμένος σε τρίγωνο και σημείο .

Στο πρόβλημά μας, .

Ο κύκλος έχει κέντρο το αρκεί για την ακτίνα του να ισχύει η σχέση του :

που ισχύει .

Επαφές τριπλού τύπου.png (29.34 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Το τρίγωνο τώρα έχει εμβαδόν 24 αρκεί η να γίνει διάμετρος του κύκλου .

Τότε το τρίγωνο γίνεται ορθογώνιο με κάθετες πλευρές . προς τούτο αρκεί :

Είτε το να συμπέσει με το νότιο, η βόρειο πόλο ,

είτε οι να γίνουν χορδές του άνω ημικυκλίου παράλληλες στον οριζόντιο άξονα .

[rek2]

Νίκο, Φίλε έτσι είναι τα πράγματα. Βλέπε

Bicentric polygon.

Poncelet's porism.