Ώρα εφαπτομένης 175

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 175.png (9.36 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Το τετράγωνο ABCD

και ο ρόμβος BEZC

, έχουν κοινή πλευρά την

.

Το

είναι το μέσο της

. Υπολογίστε την $\tan\theta$ , ώστε : MD=MZ

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2024 7:08 am
Ώρα εφαπτομένης 175.png Το τετράγωνο και ο ρόμβος , έχουν κοινή πλευρά την .

Το είναι το μέσο της . Υπολογίστε την $\tan\theta$ , ώστε : .

Προς το παρόν δίνω την κατασκευή του σχήματος (χωρίς απόδειξη).

: Εφ-175.png (13.5 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Κατασκευάζω τετράγωνο ABCD.

Με υποτείνουσα

κατασκευάζω έξω από το τετράγωνο ορθογώνιο τρίγωνο

DNC

με

και έστω

το συμμετρικό του

ως προς

Αν

είναι η τέταρτη κορυφή του ρόμβου

BEZC

και

το μέσο του BE,

τότε

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Σε επόμενη ανάρτηση θα αποδείξω ότι $\displaystyle \tan \theta = \frac{{40}}{9}.$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2024 7:08 am
Ώρα εφαπτομένης 175.png Το τετράγωνο και ο ρόμβος , έχουν κοινή πλευρά την .

Το είναι το μέσο της . Υπολογίστε την $\tan\theta$ , ώστε : .

Υπολογίζω τα τμήματα DM, ZM

με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα DBM, ZEM

και τα εξισώνω.

: Εφ-175β.png (13.71 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

$\displaystyle 2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - {a^2}\sqrt 2 \cos (45^\circ + \varphi ) = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}\cos \varphi \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \cos (45^\circ + \varphi ) = \cos \varphi$

$\displaystyle 2\cos \varphi = 1 + \sin \varphi,$ απ' όπου με διάφορους τρόπους παίρνω $\displaystyle \sin \varphi = \frac{3}{5},\cos \varphi = \frac{4}{5}.$

Με νόμο συνημιτόνων στο DCZ

όπου $\displaystyle D\widehat CZ = A\widehat BE = 90^\circ + \varphi ,$ βρίσκω $DZ^2=\dfrac{16a^2}{5}.$

Τέλος με τον ίδιο νόμο στο τρίγωνο MDZ

παίρνω $\displaystyle \cos \theta = \frac{9}{{41}},$ οπότε $\boxed{\tan \theta = \frac{{40}}{9}}$

Με τον υπολογισμό του αιτιολογείται η κατασκευή στην προηγούμενη ανάρτηση.

Ώρα εφαπτομένης 175

Ώρα εφαπτομένης 175

Re: Ώρα εφαπτομένης 175

Re: Ώρα εφαπτομένης 175

Μέλη σε σύνδεση