Ελάχιστος υπολογισμός

KARKAR · #1

: Ελάχιστος υπολογισμός.png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

Σημείο

κινείται στην βάση

του τριγώνου ABC

. Επί των πλευρών AB , AC

, θεωρούμε σημεία

P , T

αντίστοιχα , ώστε : BP=BS , CT=CS

. Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Είναι $\cos\hat{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{84}{2\cdot 8\cdot 6}=\dfrac{7}{8}$

Έστω $BP=x\in[0,4]$
οπότε από το Νόμο των συνημιτόνων στο $\triangle APT$
$PT^2=(6-x)^2+(4+x)^2-2\cdot(6-x)\cdot(4+x)\cdot\dfrac{7}{8}$
$=\frac{5}{4}\cdot(3x^2-6x+8)$

Το τριώνυμο στην προηγούμενη ισότητα λαμβάνει ελάχιστη τιμή για $x=-\frac{-6}{2\cdot 3}=1$
Οπότε $\min\{PT\}=\frac{5}{2}$ $\blacksquare$

S.E.Louridas · #3

Μετά από την Άριστη λύση του Ιάσονα και μόνο για λόγους πλουραλισμού, ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί
στο γενικό πλάνο τυχόντος τριγώνου.

Παρατηρούμε ότι:

$\angle TSP = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\angle B} \right) - \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\angle C} \right) = \frac{1}{2}\left( {\angle B + \angle C} \right) = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\angle A,\;\;ct.$

Άρα το $P{T_{\min }}$ επιτυγχάνεται όταν ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο STP

κύκλος έχει την ελάχιστη ακτίνα.

Επειδή τα τρίγωνα BSP, CTS

είναι ισοσκελή το περίκεντρο στο τρίγωνο STP

είναι το έκκεντρο

του τριγώνου ABC,

που είναι σταθερό σημείο. Συνεπώς η ελάχιστη ακτίνα είναι το κάθετο από τα ευθύγραμμα τμήματα

στην

Αλλά τότε τα S,T,P

είναι τα αντίστοιχα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ABC

με τις πλευρές του BC, CA, AB.

Τελικά και παίρνουμε: $\displaystyle{(PT_{\min })^2 = 2{\left( {\tau - a} \right)^2} - 2{\left( {\tau - a} \right)^2}\cos \angle A = 2{\left( {\tau - a} \right)^2} - 2{\left( {\tau - a} \right)^2}\cdot\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}},}$

οπότε καταλήγουμε στην $\displaystyle{P{T_{\min }} = 2\left( {\tau - a} \right)\sqrt {\frac{{\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)}}{{bc}}} .}$

Ως $\tau$ θεωρήσαμε την ημιπερίμετρο του τριγώνου ABC.

: kakar.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές

Ελάχιστος υπολογισμός

Ελάχιστος υπολογισμός

Re: Ελάχιστος υπολογισμός

Re: Ελάχιστος υπολογισμός

Μέλη σε σύνδεση