Βαριά κουβέντα

KARKAR · #1

: Βαριά κουβέντα.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

Τα εσωτερικά σημεία A , B

, κύκλου

είναι συμμετρικά ως προς το

. Η κάθετη

προς την

στο

, τέμνει τον κύκλο στο σημείο

, ενώ η

τον τέμνει στο

.

Υπολογίστε το

- συναρτήσει του

- ώστε να είναι : $\dfrac{PB}{BS}=\dfrac{21}{5}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 30, 2025 8:38 am
Βαριά κουβέντα.pngΤα εσωτερικά σημεία , κύκλου είναι συμμετρικά ως προς το . Η κάθετη

προς την στο , τέμνει τον κύκλο στο σημείο , ενώ η τον τέμνει στο .

Υπολογίστε το - συναρτήσει του - ώστε να είναι : $\dfrac{PB}{BS}=\dfrac{21}{5}$ .

: Βαριά κουβέντα.png (12.9 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές

$\displaystyle KB \cdot BL = PB \cdot BS \Leftrightarrow (r + x)(r - x) = \frac{{5P{B^2}}}{{21}} = \frac{5}{{21}}(A{P^2} + 4{x^2}) \Leftrightarrow$

$\displaystyle {r^2} - {x^2} = \frac{5}{{21}}({r^2} - {x^2} + 4{x^2}) \Leftrightarrow x = \frac{{2r}}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{AB=\dfrac{4r}{3}}$

#3

Καλημέρα σε όλους. Βλέποντας την άσκηση, όλοι οι "παλιοί" σκεφτόμαστε τις μετρικές σχέσεις σε κύκλο, όπως κομψά και σύντομα το έλυσε ο Γιώργος. Σκεπτόμενος ότι οι μετρικές έχουν πέσει θύματα σε άνιση μάχη κι αγώνα, με τις περικοπές της προπροηγούμενης υπουργού, αναζήτησα λύση δίχως αυτές. Συμπέρασμα: Κόπος, ανία και τετριμμένες κουραστικές διαδρομές. Απολαύστε τις

: 30-12-2025 Γεωμετρία b.png (16.91 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

Φέρνω

κάθετη στην

. Τότε, εύκολα, BS = PK

, άρα $\displaystyle PK = \frac{5}{{21}}PB$ .

Από την ομοιότητα των PKA, PAB

είναι $\displaystyle \frac{{PK}}{{PA}} = \frac{{PA}}{{PB}} \Leftrightarrow P{A^2} = PK \cdot PB = \frac{5}{{21}}P{B^2} \Leftrightarrow P{B^2} = \frac{{21}}{5}P{A^2}$

Πυθαγόρειο θεώρημα στο PAB

:

$\displaystyle P{A^2} + A{B^2} = P{B^2}\,\,\, \Leftrightarrow P{A^2} + 4{x^2} = P{B^2}\; \Rightarrow P{A^2} + 4{x^2} = \frac{{21}}{5}P{A^2} \Leftrightarrow P{A^2} = \frac{5}{4}{x^2}$

Πυθαγόρειο θεώρημα στο POA

:

$\displaystyle P{O^2} = A{O^2} + P{A^2}\,\, \Leftrightarrow {r^2} = {x^2} + P{A^2} = {x^2} + \frac{5}{4}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{9}{r^2} \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}r$

Οπότε $\displaystyle AB = \frac{4}{3}r$ .

Βαριά κουβέντα

Βαριά κουβέντα

Re: Βαριά κουβέντα

Re: Βαριά κουβέντα

Μέλη σε σύνδεση