Ισοϋψή

KARKAR · #1

: Ισοϋψή.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

Από σημείο

στην προέκταση της πλευράς

του τετραγώνου ABCD

, φέρουμε την

,

η οποία τέμνει την

στο

και την

, η οποία τέμνει την προέκταση της

στο

.

Αν :

, υπολογίστε την $\tan \theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 19, 2026 5:39 pm
Ισοϋψή.pngΑπό σημείο στην προέκταση της πλευράς του τετραγώνου , φέρουμε την ,

η οποία τέμνει την στο και την , η οποία τέμνει την προέκταση της στο .

Αν : , υπολογίστε την $\tan \theta$ .

: ισουψή.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

.
Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και έστω DP=BT=d

και

.

Τότε από τα όμοια τρίγωνα DAS, BTS

έχουμε $\dfrac {a}{a+p}=\dfrac {d}{p}$ και άπό τα όμοια τρίγωνα PAB, CBS

έχουμε $\dfrac {a+d}{a+p}=\dfrac {a}{p}$ .

Η πρώτη γράφεται ap=ad+pd

και η δεύτερη pd=a^2

. Προσθέτοντας κατά μέλη έπεται a^2=ap+p^2

από όπου $\boxed {p=\dfrac {1+\sqrt 5}{2} a=\phi a}$

Τελικά $\tan \theta =\dfrac {DC}{DP}= \dfrac {a}{d}= \dfrac {ap}{pd}= \dfrac {ap}{a^2}= \dfrac {p}{a}= \phi$

KARKAR · #3

: Ισοϋψή.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 74 φορές

Είναι εντυπωσιακό το πόσο συχνά συναντάμε στην Γεωμετρία τον αριθμό $\phi$ .

Μπορούμε να συντομεύσουμε κάπως την λύση , μεταφέροντας την γωνία $\theta$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2026 6:08 am
Ισοϋψή.pngΕίναι εντυπωσιακό το πόσο συχνά συναντάμε στην Γεωμετρία τον αριθμό $\phi$ .

Μπορούμε να συντομεύσουμε κάπως την λύση , μεταφέροντας την γωνία $\theta$ .

Σωστά.

Αλλιώς, που όπως η προηγούμενη συντόμευση μας γλιτώνει μόνο δυο λέξεις, θα μπορούσα εκεί που έγραψα την $p=\dfrac {1+\sqrt 5}{2}a$ να έγραφα την $d=\dfrac {-1+\sqrt 5}{2}a$ .

Τώρα μπορούμε να βρούμε το $\tan \theta = \dfrac {a}{d}$ και χωρίς μεταφορά της γωνίας.

Αλλά ας μην αναλωνόμαστε σε επουσιώδη θέματα.

abgd · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2026 6:08 am
Μπορούμε να συντομεύσουμε κάπως την λύση , μεταφέροντας την γωνία $\theta$ .

: tanθ.png (22.79 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές

Τα τρίγωνα BTE, DPC

είναι ίσα.

$tan\theta=\dfrac{a}{x}, \ \ SB=atan\theta, \ \ SA=a(1+tan\theta)$ και

$\dfrac{AD}{BT}=\dfrac{SA}{SB}\Leftrightarrow tan\theta=\dfrac{1+tan\theta}{tan\theta} \Leftrightarrow tan^2\theta-tan\theta-1=0 \Leftrightarrow tan\theta=\phi$

KARKAR · #6

Καλό !

Ισοϋψή

Ισοϋψή

Re: Ισοϋψή

Re: Ισοϋψή

Re: Ισοϋψή

Re: Ισοϋψή

Re: Ισοϋψή

Μέλη σε σύνδεση