Τριπλάσια γωνία και ακέραιο τρίγωνο ... γεωμετρικά

#1

Με αφορμή αυτό, και εκ μέρους του Νίκου Ιωσηφίδη, προτείνεται:

Αν σε τρίγωνο ABC

ισχύει η $\hat A=3\hat C$ τότε $b^2=\dfrac{(a-c)^3}{c}+2(a-c)^2$ .

[Από την σχέση αυτή προκύπτουν και τα ακεραίων πλευρών τρίγωνα που ζητήθηκαν στο αρχικό πρόβλημα. Βεβαίως η σχέση αυτή προκύπτει εύκολα από την εκεί τριγωνομετρική μου προσέγγιση, τώρα όμως ζητείται απόδειξη γεωμετρική.]

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 18, 2021 1:23 pm
Με αφορμή αυτό, και εκ μέρους του Νίκου Ιωσηφίδη, προτείνεται:

Αν σε τρίγωνο ισχύει η $\hat A=3\hat C$ τότε $b^2=\dfrac{(a-c)^3}{c}+2(a-c)^2$ .

[Από την σχέση αυτή προκύπτουν και τα ακεραίων πλευρών τρίγωνα που ζητήθηκαν στο αρχικό πρόβλημα. Βεβαίως η σχέση αυτή προκύπτει εύκολα από την εκεί τριγωνομετρική μου προσέγγιση, τώρα όμως ζητείται απόδειξη γεωμετρική.]

Καλησπέρα Γιώργο, καλησπέρα σε όλους!

Η αποδεικτέα σχέση γράφεται $\displaystyle {b^2}c = {(a - c)^3} + 2c{(a - c)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{b^2c=(a+c)(a-c)^2}$

: gbaloglou.png (13.16 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Στο σχήμα έχω πάρει το

στην

ώστε

οπότε

και έχω φέρει τη

διχοτόμο

του τριγώνου ABD.

Λόγω της διχοτόμου είναι $\boxed{ED = \frac{{c(a - c)}}{a}}$ Αλλά και η

είναι διχοτόμος

του τριγώνου AEC.

Άρα, $\displaystyle \frac{{ED}}{{a - c}} = \frac{{AE}}{b} \Leftrightarrow$ $\boxed{AE = \frac{{bc}}{a}}$ Στο τρίγωνο AED

είναι $A\widehat DE=2E\widehat AD,$

άρα $\displaystyle A{E^2} = E{D^2} + ED \cdot AD.$ Όλα τα τμήματα έχουν ήδη υπολογιστεί και με αντικατάσταση προκύπτει η αποδεικτέα.

Η λύση του Γιάννη προηγήθηκε. Αφήνω τη δική μου για τον κόπο.

STOPJOHN · #3

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 18, 2021 1:23 pm
Με αφορμή αυτό, και εκ μέρους του Νίκου Ιωσηφίδη, προτείνεται:

Αν σε τρίγωνο ισχύει η $\hat A=3\hat C$ τότε $b^2=\dfrac{(a-c)^3}{c}+2(a-c)^2$ .

[Από την σχέση αυτή προκύπτουν και τα ακεραίων πλευρών τρίγωνα που ζητήθηκαν στο αρχικό πρόβλημα. Βεβαίως η σχέση αυτή προκύπτει εύκολα από την εκεί τριγωνομετρική μου προσέγγιση, τώρα όμως ζητείται απόδειξη γεωμετρική.]

Eιναι γνωστή η βασική άσκηση (μπορώ να το αποδείξω αν ζητηθεί ) $\hat{A}=2\hat{C}\Rightarrow a^{2}=c^{2}+ac$

Το τρίγωνο ABT

είναι ισοσκελές με AB=BT=c

εφόσον $\hat{BAT}=2\theta =\hat{ATB}$ Ακόμη AT=TC=a-c

Για το τρίγωνο $ASC, SC^{2}=AS^{2}+AS.b,(*)$ ,απο τη βασική άσκηση .

Με θεωρήματα διχοτόμου στα τρίγωνα $ABT,ASC,\dfrac{BS}{c}=\dfrac{ST}{a-c}=\dfrac{c}{a},(1), \dfrac{ST}{AS}=\dfrac{a-c}{b}=\dfrac{SC}{b+AS},(2), (1)\Rightarrow SB=\dfrac{c^{2}}{a},ST=\dfrac{c(a-c)}{a}, (2) \Rightarrow AS=\dfrac{bc}{a},SC=\dfrac{(a-c)(a+c)}{a}$

Συνεπώς η βασική άσκηση δίνει

$(a-c)^{2}.\dfrac{(a+c)^{2}}{a^{2}}=\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b^{2}.c}{a}\Leftrightarrow b^{2}=\dfrac{(a-c)^{2}(a+c)}{c}$

Τριπλάσια γωνία και ακέραιο τρίγωνο ... γεωμετρικά

Τριπλάσια γωνία και ακέραιο τρίγωνο ... γεωμετρικά

Re: Τριπλάσια γωνία και ακέραιο τρίγωνο ... γεωμετρικά

Re: Τριπλάσια γωνία και ακέραιο τρίγωνο ... γεωμετρικά

Μέλη σε σύνδεση