Συνευθειακότητες και λόγος

KARKAR · #1

: Μεσιανισμός.png (27.95 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

Από σημείο

που βρίσκεται στην προέκταση της διαμέτρου

ενός κύκλου , φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα

και

. Η

τέμνει την κάθετη της

στο άκρο

,

στο σημείο

. Έστω

η τομή των SC , BN

.

α) Δείξτε ότι οι ND , AM

τέμνονται σε σημείο

του κύκλου .

β) Αν η

τέμνει την διάμετρο στο

και είναι : BS=AB

, βρείτε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TS}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 23, 2024 12:07 am
Μεσιανισμός.pngΑπό σημείο που βρίσκεται στην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα και . Η τέμνει την κάθετη της στο άκρο ,

στο σημείο . Έστω η τομή των .

α) Δείξτε ότι οι τέμνονται σε σημείο του κύκλου .

β) Αν η τέμνει την διάμετρο στο και είναι : , βρείτε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TS}$ .

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο CBN

είναι

( εφαπτόμενα τμήματα) και άρα το

είναι μέσο της υποτείνουσας ,

.

Έστω

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα από το

προς τον κύκλο . Η

τέμνει τον κύκλο στο

και είναι συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle BED$ .

Το τετράπλευρο BPED

είναι αρμονικό . Αλλά και το τετράπλευρο ABPC

είναι αρμονικά γιατί τα , MC = MB

( εφαπτόμενα τμήματα)

: Συνευθειακότητες και λόγος.png (34.24 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές

Συνεπώς η

είναι η η συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle ABC$ οπότε θα διέρχεται από το

.

( το

είναι κοινή πλευρά των προαναφερθέντων αρμονικών τετράπλευρων ).

β) Αν AB = BS = 2R

ο λόγος , $\boxed{\frac{{AT}}{{TS}} = \frac{2}{3}}$

: Συνευθειακότητες και λόγος_Υπολογισμός.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές

Η πολική του

είναι η

και άρα η τετράδα , $\left( {A,B\backslash E,S} \right)$ είναι αρμονική . ( Το

είναι η τομή των $CD\,\,\kappa \alpha \iota \,AB$ ).

Ας είναι η ακτίνα του κύκλου R = 3k

. Τότε από την αρμονική αναλογία έχω : $EB = 2k \Rightarrow OE = k$ .

Αν θέσω $OE = x\,\,,\,\,ET = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB = m$ θα είναι : $BE = y + m = 2k\,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = k\,\,\left( 2 \right)$ .

Επειδή , EC//BM

θα είναι , $\dfrac{{BM}}{{EC}} = \dfrac{{BS}}{{ES}} = \dfrac{{6k}}{{8k}} = \dfrac{3}{4}\,\,\left( 3 \right)$ οπότε , $\dfrac{{2BM}}{{EC}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{{BN}}{{DE}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{m}{y} = \dfrac{3}{2}$ και έτσι λόγω και των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$

Προκύπτουν : $y = \dfrac{{4k}}{5}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = \dfrac{{6k}}{5}$ και κατά συνέπεια : $\dfrac{{AT}}{{TS}} = \dfrac{{4k + \dfrac{{4k}}{5}}}{{6k + \dfrac{{6k}}{5}}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{AT}}{{TS}} = \dfrac{2}{3}}$ .

Συνευθειακότητες και λόγος

Συνευθειακότητες και λόγος

Re: Συνευθειακότητες και λόγος

Μέλη σε σύνδεση