Συνευθειακότητα και συντρέχεια

#1

: Συνευθειακότητα και συντρέχεια.png (21.56 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

Σε τρίγωνο ABC

τα

είναι ύψη, το

ορθόκεντρο και το

μέσο της πλευράς BC.

Ο κύκλος

διαμέτρου

επανατέμνει τον περίκυκλο του ABC

στο

Να δείξετε ότι α) Τα σημεία M, H, T

είναι

συνευθειακά και β) Οι ευθείες AT, EF, CB

διέρχονται από το ίδιο σημείο.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 16, 2025 11:03 am
Συνευθειακότητα και συντρέχεια.png
Σε τρίγωνο τα είναι ύψη, το ορθόκεντρο και το μέσο της πλευράς Ο κύκλος

διαμέτρου επανατέμνει τον περίκυκλο του στο Να δείξετε ότι α) Τα σημεία είναι

συνευθειακά και β) Οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

α) Θα αποδειχθεί οτι οι γωνίες

$\hat{THA}=\omega ,\hat{PHJ}=\varphi$ είναι κατακορυφήν άρα ίσες

Είναι

$AL//AM,\hat{AJP}=\dfrac{TBP}{2},\hat{\omega }=\hat{THA}, 90-\omega =\hat{TAH}=\dfrac{TBP}{2}\Rightarrow \omega =\phi$

β) Εστω ότι οι TA,BC

τέμνονται στο σημείο

θα αποδειχθεί ότι τα σημεία G,F,E

είναι συνευθειακά

Το τετράπλευρο FECB

είναι εγγράψιμο άρα

$\hat{AFE}=\hat{ACB},\hat{GFB}=\hat{ACB}\Rightarrow \hat{GFB}=\hat{AFE}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 16, 2025 11:03 am
Συνευθειακότητα και συντρέχεια.png
Σε τρίγωνο τα είναι ύψη, το ορθόκεντρο και το μέσο της πλευράς Ο κύκλος

διαμέτρου επανατέμνει τον περίκυκλο του στο Να δείξετε ότι α) Τα σημεία είναι

συνευθειακά και β) Οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

α)Ας είναι

το κέντρο του κύκλου διαμέτρου

,

το κέντρο του κύκλου του $\vartriangle ABC$ .

Είναι $OM// = HK\,\,\left( { = KA} \right)$ . Η διάκεντρος

είναι κάθετος στην κοινή χορδή

και η

κάθετη στην

.

Δηλαδή ταυτόχρονα : $HT \bot TA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MT//OK \bot AT$ .

Λόγω του μονοσημάντου της καθετότητας θα είναι τα σημεία M,H,T

σε μια ευθεία .

: Συνευθειακοτητα και συντρέχεια.png (38.39 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές

β) Έστω

το σημείο τομής των $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EF$ . Θα ισχύει:

$ST \cdot SA = SF \cdot SE$ ( δύναμη του

στον κύκλο διαμέτρου

)

Αλλά λόγω του εγγραψίμου τετράπλευρου EFBC

θα είναι : $SF \cdot SE = SB \cdot SC$ , που μας εξασφαλίζει ότι και η

διέρχεται από το

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 16, 2025 11:03 am
Συνευθειακότητα και συντρέχεια.png
Σε τρίγωνο τα είναι ύψη, το ορθόκεντρο και το μέσο της πλευράς Ο κύκλος

διαμέτρου επανατέμνει τον περίκυκλο του στο Να δείξετε ότι α) Τα σημεία είναι

συνευθειακά και β) Οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Α)Είναι γνωστό( κι εύκολο να αποδειχτεί) ότι το

είναι συμμετρικό του

ως προς

και

είναι διάμετρος του κύκλου (O)

Έτσι, $ZT\bot AT$ και $HT\bot AT$ άρα M,H,T

συνευθειακά

Β)Αν οι AT,CB

τέμνονται στο

θα αποδείξουμε ότι

περνά από το

Λόγω των εγγράψιμμων ATHE,EHPC

προκύπτει η ισότητα των πράσινων γωνιών $\omega$

Άρα το ETSZ

είναι εγγράψιμμο ,οπότε οι ροζ γωνίες είναι ίσες ,συνεπώς TEBS

εγγράψιμμο.

Έτσι $\angle BFS= \angle STB= \angle C= \angle AFE \Rightarrow CB,EF,AT$ συγκλινουν στο

: Συνευθειακότητα και συντρέχεια.png (105.99 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

Συνευθειακότητα και συντρέχεια

Συνευθειακότητα και συντρέχεια

Re: Συνευθειακότητα και συντρέχεια

Re: Συνευθειακότητα και συντρέχεια

Re: Συνευθειακότητα και συντρέχεια

Μέλη σε σύνδεση