Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

#1

: Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας.png (10.67 KiB) Προβλήθηκε 1683 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

έχει τις εξής ιδιότητες:

● Η υποτείνουσα BC=a

είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος.

● Η προβολή

της πλευράς

πάνω στην υποτείνουσα ισούται με την απόσταση του

από την πλευρά

.

α) Να κατασκευάσετε το τρίγωνο ABC.

β) Στην προέκταση της υποτείνουσας

προς το μέρος του

θεωρούμε σημείο

, ώστε

. Να υπολογίσετε τη γωνία $A\widehat PC=x.$

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε:Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας.png
Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

● Η υποτείνουσα είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος.

● Η προβολή της πλευράς πάνω στην υποτείνουσα ισούται με την απόσταση του από την πλευρά .

α) Να κατασκευάσετε το τρίγωνο

β) Στην προέκταση της υποτείνουσας προς το μέρος του θεωρούμε σημείο , ώστε . Να υπολογίσετε τη γωνία $A\widehat PC=x.$

Kαλησπέρα

Εστω BH=HD=y

Τότε $c^{2}=y.a\Leftrightarrow y=\dfrac{c^{2}}{a}, HD//AB\Rightarrow \dfrac{y}{c}=\dfrac{HC}{a}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}(2)$
$(1),(2)\Rightarrow b^{2}=ac,(3)$
Aρα $HC=\dfrac{ac}{a}=c$ , $a^{2}=b^{2}+c^{2},(4), (4),(3)\Rightarrow a^{2}=c^{2}+ac\Leftrightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$ η χρυσή αναλογία και η κατασκευή του τριγώνου γίνεται...
Για την γωνία $\hat{x},sinx=\dfrac{AH}{2b}=\dfrac{c}{2a}=\dfrac{1}{2\phi }=\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}$

Γιάννης

KARKAR · #3

STOPJOHN · #4

Καλημέρα Θανάση να και τα ενδιαφέροντα σημεία της Τριγωνομετρίας που γίνεται αρκετή συζήτηση ...πως ξέρεις ότι η γωνία είναι τόσο ; όσο εγραψες ; το άφησα σκόπιμα για προβληματισμό
Φιλικά
Γιάννης

YΓ Η ζητουμενη γωνία είναι $x=18^{0}$ όπως ευστοχα παρατήρησε ο Θανάσης ,η απόδειξη είναι γνωστή και θα γίνει σε λίγες ημέρες εκτός και αν απαντηθεί..................

#5

george visvikis έγραψε:Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας.png
Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

● Η υποτείνουσα είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος.

● Η προβολή της πλευράς πάνω στην υποτείνουσα ισούται με την απόσταση του από την πλευρά .

α) Να κατασκευάσετε το τρίγωνο

β) Στην προέκταση της υποτείνουσας προς το μέρος του θεωρούμε σημείο , ώστε . Να υπολογίσετε τη γωνία $A\widehat PC=x.$

Επειδή : $\vartriangle AHB = \vartriangle CHD\,$ θα είναι c = u = HC

.

Μα τότε το τετράγωνο του

ισούται με το γινόμενο του

επί το υπόλοιπό

.

Ορισμός χρυσής τομής.

: κατασκευή και υπολογισμός γωνίας.png (35.58 KiB) Προβλήθηκε 1560 φορές

Εξ άλλου αν η μεσοκάθετος του

τμήσει τον κύκλο (B,a)

στο

το

$c = AB = {\lambda _{10}}$ στον κύκλο (K,a)

και άρα η επίκεντρη γωνία $\widehat {AKB} = 36^\circ$ .

Όμως $\dfrac{{AM}}{{AK}} = \dfrac{c}{{2a}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{AH}}{{AP}} = \dfrac{{AH}}{{2AC}} = \dfrac{{AB}}{{2BC}} = \dfrac{c}{{2a}}$ γιατί $\vartriangle HAC \approx \vartriangle ABC$ .

Δηλαδή $\boxed{\dfrac{{AM}}{{AK}} = \dfrac{{AH}}{{AP}}}$ οπότε $\boxed{\widehat x = \widehat {AKM} = 18^\circ }$ .

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #6

Ο από μηχανής θεός Γιώργος Ρίζος σώζει ( πάλι ) την κατάσταση , αρκεί να πάμε εδώ

KARKAR · #7

: ημ18.png (7.47 KiB) Προβλήθηκε 1523 φορές

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $AB=AC=4 , \hat{A}=36^0$ .

Φέρουμε τη διχοτόμο

. Είναι : $\dfrac{4-x}{x}=\dfrac{x}{4}$ δηλαδή $BC=2\sqrt{5}-2$ ,

άρα $BD=\sqrt{5}-1$ , οπότε $sin18^0=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

#8

Κάτι παρόμοιο με τον Θανάση.

: sin18.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 1489 φορές

Κατασκευάζω ισοσκελές τρίγωνο ABC

με $AB=AC=4, \hat{A}=108^0$ και έστω

σημείο της

με

και

μέσο του

Εύκολα βρίσκουμε ότι AD=DC

και ότι η

εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABD.

$\displaystyle{a(a - 4) = 16 \Leftrightarrow {a^2} - 4a - 16 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{a > 0} a = 2\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}$ και $\displaystyle{\sin {18^0} = \frac{{MD}}{{BD}} = \frac{{a - 4}}{8} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}}$

Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Re: Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Re: Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Re: Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Re: Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Re: Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Re: Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Re: Κατασκευή και υπολογισμός γωνίας

Μέλη σε σύνδεση