Διπλό ελάχιστο

KARKAR · #1

: Ελάχιστο γινόμενο.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : AB=10 , AC=5

. Τμήμα , με ένα άκρο σημείο

της

,

διέρχεται από το ίχνος του ύψους

και τέμνει την προέκταση της

, στο σημείο

.

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του (ASP)

. β) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου $SD\cdot DP$

Σημείωση : Υπήρξε και ερώτημα για το ελάχιστο του

, το οποίο αποσύρθηκε .

KARKAR · #2

Εντυπωσιάζομαι , που ένα τέτοιο θέμα , μένει αναπάντητο για ένα ολόκληρο εικοσιτετράωρο .

Εν πάση περιπτώσει , προσθέτω τα εξής : Και τα δύο ζητούμενα ελάχιστα είναι

, επίσης και

τα δύο μπορούν να βρεθούν χωρίς χρήση παραγώγων ( κάτι που - φυσικά - δεν απαγορεύεται )

#3

KARKAR έγραψε:Εντυπωσιάζομαι , που ένα τέτοιο θέμα , μένει αναπάντητο για ένα ολόκληρο εικοσιτετράωρο .

Ασφαλώς! Προφανώς οι Γεωμέτρες μας είναι απασχολημένοι σε κοινωνικές εκδηλώσεις.
(Οι εν Κρήτη διαβιούντες ΟΠΩΣΔΗΠΟΤΕ. Ετσά ν' αυτά).

: Ελάχιστο γινόμενο.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές

1ο ΕΡΩΤΗΜΑ. ΔΙΧΩΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (αλλά με Καρτεσιανές Συντεταγμένες...)

Είναι A(0, 0), B(10, 0), C(0, 5), S(a, 0), 0 < a < 10

.

Είναι $\displaystyle BC:y = - \frac{1}{2}x + 5$ άρα AD: y = 2x

, οπότε $\displaystyle D\left( {2,\;4} \right)$ .

Για να ισχύει η υπόθεση, περιορίζουμε 2<a<10

.
Τότε $\displaystyle DS:\;y = \frac{4}{{2 - a}}x - \frac{{4a}}{{2 - a}}$ , άρα $\displaystyle P\left( {0,\;\frac{{4a}}{{a - 2}}} \right)$

Οπότε $\displaystyle \left( {ASP} \right) = \frac{{a \cdot \frac{{4a}}{{a - 2}}}}{2} = \frac{{2{a^2}}}{{a - 2}} = ... =$

$\displaystyle = 2\left( {a + 2 + \frac{4}{{a - 2}}} \right) = 2\left( {a - 2 + \frac{4}{{a - 2}}} \right) + 8 \ge 2 \cdot 4 + 8 = 16$ , αφού για k, x > 0

έχουμε $\displaystyle x + \frac{k}{x} \ge 2\sqrt k \;\;$ (προφανές).

Το ελάχιστο το έχουμε για a = 4

.

2ο ΕΡΩΤΗΜΑ με την ίδια τεχνική ΔΙΧΩΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

$\displaystyle SD \cdot DP = \sqrt {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + 16} \cdot \sqrt {4 + {{\left( {\frac{{4a}}{{a - 2}} - 4} \right)}^2}} =$
$\displaystyle = 2 \cdot \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 16}}{{a - 2}} = 2\left( {a - 2 + \frac{{16}}{{a - 2}}} \right) \ge 2 \cdot 2\sqrt {16} = 16.$

Εδώ ελάχιστο έχουμε για a = 6

.

KARKAR έγραψε: Σημείωση : Υπήρξε και ερώτημα για το ελάχιστο του , το οποίο αποσύρθηκε .

Για την Ιστορία..., είναι $\displaystyle SP = \sqrt {{a^2} + \frac{{16{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}}$ που έχει ελάχιστο για $\displaystyle a = 2 + 2\sqrt[3]{4}$ , (με χρήση λογισμικού).

edit: Διόρθωσα τη θέση ελαχίστου στο 2ο ερώτημα (με κόκκινο), με τη διακριτική υπόδειξη του Θανάση (KarKar). Ευχαριστώ!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο γινόμενο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : . Τμήμα , με ένα άκρο σημείο της ,

διέρχεται από το ίχνος του ύψους και τέμνει την προέκταση της , στο σημείο .

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του . β) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου $SD\cdot DP$

Σημείωση : Υπήρξε και ερώτημα για το ελάχιστο του , το οποίο αποσύρθηκε .

Με χρήση παραγώγου

Έστω $\displaystyle{AS = x,PC = y}$ και $\displaystyle{DE \bot PS}$

1.Οι πράσινες γωνίες προφανώς είναι ίσες όπως και οι κόκκινες αφού $\displaystyle{PDAE}$ εγγράψιμο,άρα

$\displaystyle{\vartriangle PCD \simeq \vartriangle EDA \Rightarrow \frac{{EA}}{y} = \frac{{ED}}{{PD}} = \frac{{DA}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = 2 \Rightarrow \boxed{EA = 2y},\boxed{ED = 2PD}}$

Με $\displaystyle{CZ//AB \Rightarrow \frac{{CZ}}{{10 - x}} = \frac{{CD}}{{DB}} = {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow CZ = \frac{{10 - x}}{4}}$

Ισχύει $\displaystyle{\frac{{PC}}{{PA}} = \frac{{CZ}}{{AS}} \Rightarrow \frac{y}{{y + 5}} = \frac{{\frac{{10 - x}}{4}}}{x} \Rightarrow \boxed{y = \frac{{10 - x}}{{x - 2}}}}$ φυσικά με $\displaystyle{x > 2}$

Τώρα , $\displaystyle{AP = y + 5 = \frac{{4x}}{{x - 2}}}$ και $\displaystyle{\left( {APS} \right) = F(x) = \frac{{2{x^2}}}{{x - 2}}}$ και $\displaystyle{2 < x < 10}$ που εύκολα βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο για $\displaystyle{\boxed{x = 4},\boxed{F(4) = 16}}$

2.Είναι , $\displaystyle{\frac{{DQ}}{5} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \boxed{DQ = 4}}$

$\displaystyle{PD \cdot DS = \frac{1}{2}ED \cdot DS = \left( {DES} \right)}$ .Άρα το γινόμενο $\displaystyle{PD \cdot DS}$ γίνεται ελάχιστο για την τιμή του $\displaystyle{x \in \left( {2,10} \right)}$ για την οποία $\displaystyle{\left( {DES} \right) = \min }$

Επειδή όμως το ύψος $\displaystyle{DQ}$ είναι σταθερό θέλουμε $\displaystyle{ES = \min }$

$\displaystyle{ES = 2y + x = 2\frac{{10 - x}}{{x - 2}} + x = \frac{{{x^2} - 4x + 20}}{{x - 2}}}$ .Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{{x^2} - 4x + 20}}{{x - 2}}}$ έχει ελάχιστη τιμή για $\displaystyle{x = 6}$ τότε $\displaystyle{f(2) = ES = 8 \Rightarrow PD \cdot DS = \left( {DES} \right) = 16}$

: D.E.png (14.43 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Διπλό ελάχιστο

Διπλό ελάχιστο

Re: Διπλό ελάχιστο

Re: Διπλό ελάχιστο

Re: Διπλό ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση