Δύο κάθετες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Δύο κάθετες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Νοέμ 25, 2016 6:44 pm

Θεωρούμε χορδή \displaystyle{B\Gamma} ενός κύκλου , \displaystyle{M} το μέσον αυτής και ένα σημείο \displaystyle{A} στο εξωτερικό του κύκλου. Έστω \displaystyle{E , Z} τα σημεία τομής
του κύκλου με τις ευθείες \displaystyle{AB , A\Gamma} αντιστοίχως και \displaystyle{\Pi} το μέσον του ελάσσονος τόξου \displaystyle{EZ}. Φέρνουμε την \displaystyle{\Pi P} κάθετη στην
\displaystyle{AB} και γράφουμε τον κύκλο \displaystyle{(M , MP)} , ο οποίος τέμνει την \displaystyle{A\Gamma} στο \displaystyle{\Sigma}. Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{\Pi \Sigma} είναι
κάθετη στην \displaystyle{A\Gamma}.
ΣΧΗΜΑ(1) 25-11-16.png
ΣΧΗΜΑ(1) 25-11-16.png (27.11 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4029
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Δύο κάθετες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Νοέμ 26, 2016 10:24 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Θεωρούμε χορδή \displaystyle{BC} ενός κύκλου , \displaystyle{M} το μέσον αυτής και ένα σημείο \displaystyle{A} στο εξωτερικό του κύκλου. Έστω \displaystyle{E , Z} τα σημεία τομής του κύκλου με τις ευθείες \displaystyle{AB , AC} αντιστοίχως και \displaystyle{P} το μέσον του ελάσσονος τόξου \displaystyle{EZ}. Φέρνουμε την \displaystyle{\PR κάθετη στην \displaystyle{AB} και γράφουμε τον κύκλο \displaystyle{(M , MP)} , ο οποίος τέμνει την \displaystyle{AB} στο \displaystyle{S}. Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{\PS} είναι κάθετη στην \displaystyle{AC}.
Έχω αλλάξει λίγο τα γράμματα για δική μου ευκολία.

\bullet Έστω PR \bot AB\left( {R \in AB} \right),PS \bot AC\left( {S \in AC} \right) και αρκεί να δείξουμε ισοδύναμα ότι MR=MS .

Αν F,Q είναι τα μέσα των PB,PC αντίστοιχα, τότε προφανώς το τετράπλευρο PFMQ είναι παραλληλόγραμμο (στοιχειώδης πρόταση).
[attachment=0]Δύο κάθετες.png[/attachment]
\bullet Έτσι έχουμε: FR\mathop  = \limits^{RF\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma \,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\upsilon \,\,\vartriangle RBP\left( {\angle R = {{90}^0}} \right)} FP\mathop  = \limits^{FPQM\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o} QM:\left( 1 \right)

\boxed{\angle RFB = }\angle RFP + \angle PFM\mathop  = \limits^{FR = FB,FPQM\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda .} 2\left( {\angle PBE} \right) + \angle PQM\mathop  = \limits^{\tau o\xi .PE = \tau o\xi .PZ} 2\left( {\angle PCZ} \right) + \angle PQM\mathop  = \limits^{QS = QC}

2\left( {\angle SQP} \right) + \angle PQM = \boxed{\angle SQM}:\left( 2 \right) και FM\mathop  = \limits^{FPQM\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o} QR\mathop  = \limits^{SQ\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma \,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\upsilon \,\,\vartriangle PSC\left( {\angle S = {{90}^0}} \right)} QS:\left( 3 \right)

Από \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi } \vartriangle FMR = \vartriangle QSM \Rightarrow \boxed{MR = MS} και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Δύο κάθετες.png
Δύο κάθετες.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης