Ελάχιστο εμβαδόν ορθογωνίου

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση εμβαδού ορθογωνίου.png (6.89 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές

Η κορυφή

του ορθ. τριγώνου $\displaystyle ABC$ , βρίσκεται στην προέκταση της διαμέτρου

AD=2R

ενός ημικυκλίου , ενώ η υποτείνουσα

, εφάπτεται του ημικυκλίου .

Δείξτε ότι το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου , ( πόσο είναι ; ) επιτυγχάνεται , όταν

το σημείο επαφής

, είναι το μέσο της

. Λογισμός αποδεκτός

S.E.Louridas · #2

Σε πρώτη φάση το θέμα πηγαίνει στο ότι από τα περιγεγραμμένα τρίγωνα σε σταθερό κύκλο το ελάχιστο εμβαδόν το έχει το ισόπλευρο. Αρκεί λοιπόν να θεωρήσουμε το συμμετρικό του

, έστω το

ως προς την

και να δούμε έτσι τα πράγματα στο τρίγωνο CBB'

.

#3

KARKAR έγραψε:Ελαχιστοποίηση εμβαδού ορθογωνίου.png Η κορυφή του ορθ. τριγώνου $\displaystyle ABC$ , βρίσκεται στην προέκταση της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , ενώ η υποτείνουσα , εφάπτεται του ημικυκλίου .

Δείξτε ότι το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου , ( πόσο είναι ; ) επιτυγχάνεται , όταν

το σημείο επαφής , είναι το μέσο της . Λογισμός αποδεκτός

Καλημέρα σε όλους!

Μετά την αστραπιαία λύση του Σωτήρη, μία υπολογιστική.

: Ελάχιστο εμβαδόν ορθογωνίου.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Έστω

. Επειδή η

είναι διχοτόμος του τριγώνου θα είναι

$\displaystyle{AO = \frac{{bx}}{{a + x}} = R \Leftrightarrow }$ $\boxed{(ABC) = \frac{{bx}}{2} = \frac{{R(a + x)}}{2}}$ (1)

Αλλά, $\boxed{b=\sqrt{a^2-x^2}}$ , οπότε:

$\displaystyle{\frac{{x\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{a + x}} = R \Rightarrow \frac{{{x^2}(a - x)(a + x)}}{{{{(a + x)}^2}}} = {R^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{a = \frac{{{x^3} + {R^2}x}}{{{x^2} - {R^2}}}}$ (2)

Από

είναι: $\displaystyle{(ABC) = E(x) = \frac{{{x^3}R}}{{{x^2} - {R^2}}}}$ , όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκουμε ότι για $\boxed{x_0=R\sqrt{3}}$

παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με $\boxed{{E_{\min }} = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{2}}$ Τότε όμως είναι $A\widehat BO=30^0, BO=OC$ , άρα το

είναι μέσο του

Ελάχιστο εμβαδόν ορθογωνίου

Ελάχιστο εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση