Γωνία και τμήμα

KARKAR · #1

: Γωνία και τμήμα.png (11.52 KiB) Προβλήθηκε 976 φορές

Το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει κάθετες πλευρές μήκους

. Το σημείο

διαιρεί την

σε τμήματα AN=4

και

, ενώ το

είναι το μέσο της

.

Ο κύκλος (A,N,M)

τέμνει την υποτείνουσα

στα σημεία S,P

.

Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SAP}$ και το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε:Γωνία και τμήμα.pngΤο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει κάθετες πλευρές μήκους . Το σημείο

διαιρεί την σε τμήματα και , ενώ το είναι το μέσο της .

Ο κύκλος τέμνει την υποτείνουσα στα σημεία .

Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SAP}$ και το τμήμα .

Προφανές ότι MN = 5

.

Ας είναι $CP = u\,\,,\,\,PS = v\,\,,SB = k$ και το κέντρο του κύκλου

Ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} u(u + v) = 18\,\,\,(1) \hfill \\ k(k + v) = 12\,\,\,(2) \hfill \\ u + v + k = 6\sqrt 2 \,\,\,(3) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: γωνία και τμήμα.png (24.83 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Με αφαίρεση κατά μέλη τις δύο πρώτες έχουμε: $u - k = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,(4)$ προσθέτουμε κατά

μέλη τις $(3)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(4)$ και προκύπτει, $2u + v = \dfrac{{13\sqrt 2 }}{2}\,\,\,(5)$ που λόγω της (1)

έχουμε την

εξίσωση : $u(\dfrac{{13\sqrt 2 }}{2} - u) - 18 = 0$ απ’ όπου μόνη δεκτή ρίζα $\boxed{u = 2\sqrt 2 }$ . Εύκολα μετά

$\boxed{v = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,k = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}$ στο τρίγωνο $\vartriangle KPS\,\,\,$ ισχύει

$K{P^2} + K{S^2} = P{S^2} \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{4} + \dfrac{{25}}{4} = \dfrac{{25}}{2}$ δηλαδή είναι ορθογώνιο οπότε $\boxed{\theta = 45^\circ }$

Επειδή δε $A{P^2} = A{C^2} + C{P^2} - 2AC \cdot CP\cos 45^\circ$ προκύπτει $\displaystyle{\boxed{AP = 2\sqrt 5 }}$ .

Παρατήρηση . Με αναλυτική γεωμετρία τα πράγματα είναι πιο απλά αφού οι συντεταγμένες των P,S

είναι ρητοί αριθμοί .

Φιλικά , Νίκος

#3

KARKAR έγραψε:Γωνία και τμήμα.pngΤο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει κάθετες πλευρές μήκους . Το σημείο

διαιρεί την σε τμήματα και , ενώ το είναι το μέσο της .

Ο κύκλος τέμνει την υποτείνουσα στα σημεία .

Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SAP}$ και το τμήμα .

Έστω

το κέντρο του κύκλου . Επειδή το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle AMN$ έχει κάθετες

πλευρές $3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,4$ θα έχει υποτείνουσα MN = 5

και ακτίνα $\boxed{R = \frac{5}{2}}$ .

α.

Φέρνουμε από το

παράλληλη προς την

και τέμνει την

στο

. Αφού

$\widehat C = 45^\circ$ το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle MDC$ είναι ισοσκελές , άρα MD = 3

.

Στο τραπέζιο MDBN

ισχύει : $2KS = MD + NB \Leftrightarrow 2R = 3 + 2$ αληθές .

Αφού όμως το

μέσο της

αναγκαστικά και το

μέσο της

οπότε

$\boxed{KS//AB}$ ομοίως $\boxed{KP//AC}$ .Η Επίκεντρη γωνία $\widehat {SKP} = 90^\circ$ συνεπώς η $\boxed{\widehat \theta = 45^\circ }$

: γωνία και τμήμα_ok_1.png (31.73 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

β.

Από την ομοιότητα , $\vartriangle MDC \approx \vartriangle KSP$ έχουμε : $\dfrac{{CD}}{{PS}} = \dfrac{{MD}}{{KS}} \Rightarrow \dfrac{{3\sqrt 2 }}{{PS}} = \dfrac{3}{{\dfrac{5}{2}}} \Rightarrow \boxed{PS = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}}$

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο έχουμε

$CP \cdot CS = CM \cdot CA \Rightarrow CP(CP + \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}) = 18$ . Η εξίσωση δίδει δεκτή ρίζα , $\boxed{CP = 2\sqrt 2 }$

Από το Θ. συνημιτόνου στο τρίγωνο $\vartriangle CAP$ προκύπτει εύκολα $\boxed{AP = 2\sqrt 5 }$ .

β ερώτημα αλλιώς ( πιο εύκολα)

Αν η

κόψει την

στο

και τον κύκλο στο

θα είναι

$KH = \dfrac{{MA}}{2} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow HL = 1$ . Από το Θ Ευκλείδη στο $\vartriangle PAL$ θα είναι

$P{A^2} = PH \cdot PL = 4 \cdot 5 = 20 \Rightarrow \boxed{PA = 2\sqrt 5 }$

Ισχύουν και άλλα ενδιαφέροντα στην άσκηση , όπως π. χ.

$PA = PN\,\,,\,\,AP \bot MB\,\,,\,\,BP = 2PC$

Φιλικά, Νίκος

#4

KARKAR έγραψε:Γωνία και τμήμα.pngΤο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει κάθετες πλευρές μήκους . Το σημείο

διαιρεί την σε τμήματα και , ενώ το είναι το μέσο της .

Ο κύκλος τέμνει την υποτείνουσα στα σημεία .

Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SAP}$ και το τμήμα .

Μία με Αναλυτική για να πω τα Χρόνια Πολλά στους φίλους!

: Γωνία και τμήμα.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

, ο κύκλος έχει εξίσωση $\boxed{(x-2)^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{25}{4}}$ και η ευθεία $\boxed{BC:y=-x+6}$

Από τη λύση του συστήματος βρίσκουμε $\displaystyle{P(2,4),S\left( {\frac{9}{2},\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow {\lambda _{AP}} = 2,{\lambda _{AS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan \omega = \frac{{{\lambda _{AP}} - {\lambda _{AS}}}}{{1 + {\lambda _{AP}}{\lambda _{AS}}}} = 1 \Leftrightarrow }$

$\boxed{\omega=45^0}$ και $\boxed{AP=2\sqrt 5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε:Γωνία και τμήμα.pngΤο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει κάθετες πλευρές μήκους . Το σημείο

διαιρεί την σε τμήματα και , ενώ το είναι το μέσο της .

Ο κύκλος τέμνει την υποτείνουσα στα σημεία .

Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SAP}$ και το τμήμα .

1. Το κέντρο $\displaystyle{K}$ του κύκλου $\displaystyle{\left( {M,A,N} \right)}$ είναι μέσον του $\displaystyle{MN}$ .Άρα $\displaystyle{R = \frac{5}{2}}$

Με $\displaystyle{ME,KT,NZ \bot BC \Rightarrow KT}$ είναι διάμεσος του τραπεζίου $\displaystyle{EMNZ}$

Από τα ορθογώνια ισοσκελή $\displaystyle{\vartriangle CEM,NZB}$ με $\displaystyle{CM = 3,BN = 2}$ και Π.Θ βρίσκουμε $\displaystyle{CE = EM = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}$ και $\displaystyle{ZN = ZB = \sqrt 2 }$

$\displaystyle{KT = \frac{{ME + NZ}}{2} \Rightarrow KT = \frac{5}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \boxed{KT = {\alpha _4}} \Rightarrow \boxed{PS = {\lambda _4}} \Rightarrow \boxed{PS = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}}}$ και $\displaystyle{\boxed{\theta = {{45}^0}}}$

2.Επειδή $\displaystyle{\angle PKS = {\omega _4} = {90^0} \Rightarrow \angle KPS = {45^0} \Rightarrow PK//CA \Rightarrow PK \bot AN}$ στο μέσον της $\displaystyle{Q \Rightarrow PQ = QB = 4}$

Με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle PAQ \Rightarrow \boxed{AP = 2\sqrt 5 }}$

: GKT.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 867 φορές

Γωνία και τμήμα

Γωνία και τμήμα

Re: Γωνία και τμήμα

Re: Γωνία και τμήμα

Re: Γωνία και τμήμα

Re: Γωνία και τμήμα

Μέλη σε σύνδεση