Τα εργαλείο κάνουν το μάστορα_6

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7806
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Τα εργαλείο κάνουν το μάστορα_6

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 11, 2017 2:24 pm

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_6.png
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_6.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές
Έστω σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου AKB . Στις ακτίνες KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB θεωρούμε δύο

σημεία, D σταθερό στην KA και T μεταβλητό στην KB. Οι κάθετες στα D,T επί

την AB τέμνουν το ημικύκλιο στα S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L αντίστοιχα. Η εφαπτομένη του

ημικυκλίου στο L τέμνει την ευθεία AB στο P και μετά η SP τέμνει το ημικύκλιο

στο E. Γράφουμε τον κύκλο (E,B,T) που τέμνει την TL στο H .

Δείξετε ότι η ευθεία PH διέρχεται από σταθερό σημείο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10199
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τα εργαλείο κάνουν το μάστορα_6

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 11, 2017 8:36 pm

Doloros έγραψε:Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_6.png

Έστω σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου AKB . Στις ακτίνες KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB θεωρούμε δύο

σημεία, D σταθερό στην KA και T μεταβλητό στην KB. Οι κάθετες στα D,T επί

την AB τέμνουν το ημικύκλιο στα S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L αντίστοιχα. Η εφαπτομένη του

ημικυκλίου στο L τέμνει την ευθεία AB στο P και μετά η SP τέμνει το ημικύκλιο

στο E. Γράφουμε τον κύκλο (E,B,T) που τέμνει την TL στο H .

Δείξετε ότι η ευθεία PH διέρχεται από σταθερό σημείο.
Γεια σου Νίκο, γεια σε όλους!
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_6.png
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_6.png (61.43 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές
Το κλειδί για την απόδειξη είναι η συνευθειακότητα των σημείων B, H, S (*) Έστω ότι η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο A τέμνει

την PH στο C. Θα δείξω ότι το C είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο. Θέτω TB=x, BS=y, SD=d, DB=k. Προφανώς

τα τμήματα k,d είναι σταθερά. Από την παραλληλία των AC, DS, TH έχουμε:

\displaystyle{\frac{{HT}}{d} = \frac{x}{k},\frac{{AC}}{{HT}} = \frac{{y + 2R}}{{x + y}}\mathop  \Rightarrow \limits^ \odot  \frac{{AC}}{d} = \frac{{x(y + 2R)}}{{k(x + y)}} \Leftrightarrow } \boxed{AC = \frac{{dx(y + 2R)}}{{k(x + y)}}} (1)

LB, LA είναι η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου LTP, οπότε: \displaystyle{\frac{x}{y} = \frac{{AT}}{{AP}} = \frac{{2R - x}}{{2R + y}} \Leftrightarrow } \boxed{y = \frac{{Rx}}{{R - x}}} (2)

Από (1), (2) προκύπτει ότι \boxed{AC = \frac{{dR}}{k}} και αν θέσω S\widehat BD=\theta θα είναι \boxed{AC = R\tan \theta } που είναι σταθερό.


(*) Θα δείξω σε επόμενη ανάρτηση ότι τα σημεία B, H, S είναι συνευθειακά .


simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: Τα εργαλείο κάνουν το μάστορα_6

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Κυρ Μαρ 12, 2017 9:21 am

Καλημέρα σε όλους!Μια απόδειξη για τον ισχυρισμό του κ.Γιώργου.
Αρχικά έχω ότι \angle HEB=\angle AEB=90^{\circ} άρα τα A,H,E συνευθειακά.
Τα P,T είναι τα αρμονικά συζυγή των A,B και με \angle AEB=90^{\circ} η HE
διχοτομεί την \angle SET άρα \angle HBA=\angle AET=\angle SEA=\angle SBA οπότε και S,H,B
συνευθειακά άρα και ASHT εγγράψιμο συνεπώς οι ριζικοί άξονες των κύκλων (ASEB),(HEBT),(ASHT) που είναι οι ευθείες AS,HT,EB συντρέχουν έστω στο N
.Έστω επίσης M η τομή της εφαπτομένης στο A με τη PH.Από το πλήρες τετράπλευρο ABESPN έχουμε ότι η PH έναι η πολική του N οπότε από θεώρημα De La Hire και το N θα βρίσκεται στη πολική του M άρα η πολική του M είναι η ευθεία ASN.Συνεπώς το M είναι η τομή των εφαπτομένων του κύκλου στα A,S και είναι σταθερό αφού A,S σταθερά.


Σημαντήρης Γιάννης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10199
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τα εργαλείο κάνουν το μάστορα_6

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 12, 2017 10:08 am

Να :clap2: τον Γλυφαδιώτη Γιάννη για τη λύση του, αλλά και γενικότερα για τις επιδόσεις του!

Ο Γιάννης απέδειξε ήδη ότι τα σημεία B, H, S είναι συνευθειακά, οπότε δεν χρειάζεται να το κάνω κι εγώ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7806
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τα εργαλείο κάνουν το μάστορα_6

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 15, 2017 10:54 am

Πρώτα-Πρώτα να ευχαριστήσω το φίλο Γιώργο Βισβίκη και τον νεαρό Simantiris j. για την ωραία λύση που από κοινού έδωσαν .

Η λύση μου είναι πάνω στο σκεφτικό της κατασκευής της άσκησης , την οποία άσκηση αφιερώνω στο Μπάμπη Στεργίου για τη μεγάλη συγγραφική

και όχι μόνο προσφορά του στους μαθητές και στου συναδέλφους . Το τελευταίο του βιβλίο " Γεωμετρία 4 για διαγωνισμούς" είναι μαγικό :clap2:


Αντιστρέφω τον κύκλο (E,B,T) με πόλο το P και δύναμη αντιστροφής

{k^2} = P{L^2} θα προκύψει ο σταθερός κύκλος (A,S,K) κι αυτό γιατί στην αντιστροφή

αυτή , ας την πούμε f(P,{k^2}) ισχύουν :

PE \cdot PS = PB \cdot PA = PT \cdot PK = {k^2} δηλαδή f(E) = S\,\,,\,\,f(B) = A\,\,,\,\,f(T) = K .

Αν τώρα φέρω την κάθετη στο A επί την AB και κόψει την ευθεία PH στο N θα

δείξω ότι το N ανήκει στο σταθερό κύκλο (A,S,K). Πράγματι έστω ότι η PH τέμνει

ακόμα τον κύκλο (E,B,T) στο M θα είναι \widehat {HMB} = 90^\circ
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_6_Λύση.png
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα_6_Λύση.png (23.47 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές
( από το εγγράψιμο τετράπλευρο HTBM) και άρα και το τετράπλευρο ANMB είναι

εγγράψιμο οπότε PM \cdot PN = PB \cdot PA = {k^2} \Rightarrow \boxed{f(M) = N} δηλαδή το N είναι

σταθερό σημείο στο κύκλο (A,S,K) και είναι το ζητούμενο σημείο .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης