Δύναμη του Φ

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1154
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Δύναμη του Φ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μαρ 13, 2017 11:56 pm

Γεια σας . Μια σύνθεση ..όχι χωρίς αφορμή..
13-3-17 Παιχνίδι με τις  δυνάμεις του Φ.PNG
13-3-17 Παιχνίδι με τις δυνάμεις του Φ.PNG (7.34 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές
Στο σχήμα έχουμε A\widehat{O}B=90^{0}...OA=OB=R . Από το σημείο G του τεταρτοκυκλίου φέρουμε GT\perp OB.

Θεωρούμε και το E επί του τόξου BG έτσι ώστε το AETO να είναι εγγράψιμο .Οι AE,GT τέμνονται στο H.

Αν ισχύει AE= \Phi ^{3}\cdot EH , όπου \Phi ο γνωστός χρυσός αριθμός και δοθεί ET= 1 τότε

Να υπολογιστεί η ακτίνα R του τεταρτοκυκλίου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1154
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Δύναμη του Φ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Απρ 03, 2017 11:30 pm

Xαιρετώ .
Ας επαναφέρω το θέμα με σκοπό την ..τακτοποίησή του..
3-4-17 ..R  , Δύναμη του Φ.PNG
3-4-17 ..R , Δύναμη του Φ.PNG (7.11 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές
..θέτοντας ένα ακόμη ζητούμενο : Να δειχθεί ότι ισχύει :\dfrac{AT}{ET}=\dfrac{AH}{EH}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8672
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύναμη του Φ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 22, 2017 12:12 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας . Μια σύνθεση ..όχι χωρίς αφορμή..
13-3-17 Παιχνίδι με τις δυνάμεις του Φ.PNG
Στο σχήμα έχουμε A\widehat{O}B=90^{0}...OA=OB=R . Από το σημείο G του τεταρτοκυκλίου φέρουμε GT\perp OB.

Θεωρούμε και το E επί του τόξου BG έτσι ώστε το AETO να είναι εγγράψιμο .Οι AE,GT τέμνονται στο H.

Αν ισχύει AE= \Phi ^{3}\cdot EH , όπου \Phi ο γνωστός χρυσός αριθμός και δοθεί ET= 1 τότε

Να υπολογιστεί η ακτίνα R του τεταρτοκυκλίου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο, Καλημέρα σε όλους!

Οι παραπομπές εδώ(#9) ήταν καταλυτικές. Πράγματι από αυτή την άσκηση, η TG είναι διχοτόμος της A\widehat TE.
Δύναμη του Φ.png
Δύναμη του Φ.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές
\displaystyle{\frac{{AT}}{{ET}} = \frac{{AH}}{{EH}} \Leftrightarrow AT + 1 = \frac{{AE}}{{EH}} \Leftrightarrow AT = {\Phi ^3} - 1 = \sqrt 5  + 1 \Leftrightarrow } \boxed{AT = 2\Phi } (1) (που απαντά στο β) ερώτημα).

Με Πυθαγόρειο στο τρίγωνο AET βρίσκω ότι \boxed{EA = \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } } και με θεώρημα Πτολεμαίου στο OAET:

\displaystyle{R + OT \cdot EA = R(\sqrt 5  + 1) \Leftrightarrow O{T^2} = \frac{{5{R^2}}}{{5 + 2\sqrt 5 }} = A{T^2} - {R^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} } \boxed{R = {\Phi ^2}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1154
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Δύναμη του Φ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 23, 2017 11:54 pm

Xαιρετώ όλους !Γιώργο , πολύχρονος και πάντοτε δημιουργικός !
Σ' ευχαριστώ θερμά για την τακτοποίηση και αυτού του θέματος. Μια παραλλαγή στο τελευταίο μέρος της άσκησης :
23-4-17 R , Δύναμη του Φ.PNG
23-4-17 R , Δύναμη του Φ.PNG (7.65 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές
Είναι TG διχοτόμος της A\widehat{T}E και AT=2\Phi.Έχουμε \sigma \upsilon \nu A\widehat{T}E=\dfrac{1}{2\Phi }=\sigma \upsilon \nu 72^{0}

συνεπώς A\widehat{T}E=72^{0} οπότε O\widehat{A}T=A\widehat{T}H=36^{0}.

Στο ορθ. \triangleleft OTA: \sigma \upsilon \nu 36^{0}=\dfrac{OA}{AT} ή \dfrac{\Phi }{2}=\dfrac{R}{2\Phi }\Leftrightarrow R=\Phi ^{2}.

Φιλικά , Γιώργος .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Γιώργος Ρίζος και 2 επισκέπτες