Ισοσκελή, ισεμβαδικά με διχοτομούμενες βάσεις

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA 179 Ισοσκελή, ισεμβαδικά με κοινό μέσο FB652B.png (28.83 KiB) Προβλήθηκε 1102 φορές

Δύο ισοσκελή και ισεμβαδικά τρίγωνα ABC, PST

έχουν κοινό το μέσον

των βάσεών τους BC, ST

αντίστοιχα.

Δείξτε ότι το περίκεντρο

του

ανήκει στην μεσοπαράλληλο των BS, TC

Al.Koutsouridis · #2

sakis1963 έγραψε:GEOMETRIA 179 Ισοσκελή, ισεμβαδικά με κοινό μέσο FB652B.png
Δύο ισοσκελή και ισεμβαδικά τρίγωνα έχουν κοινό το μέσον των βάσεών τους αντίστοιχα.

Δείξτε ότι το περίκεντρο του ανήκει στην μεσοπαράλληλο των

Καλησπέρα,

Αν A{'}

το αντιδιαμετρικό του

τότε εφόσον $\angle AMC = 90^{0}$ , τα σημεία M,C, A{'}

είναι συνευθειακά.

Παρόμοια, αν P{'}

το σημείο τομής της

με το κύκλο, τότε το P{'}

είναι το αντιδιαμετρικό του

.

Οπότε το τετράπλευρο APA{'}P{'}

είναι ορθογώνιο και θα ισχύει $\angle A{'}MP{'} = \angle AMP$ . Επίσης ισχύει από κατακορυφήν $\angle A{'}MP{'} = \angle SMB \Rightarrow \angle AMP = \angle SMB$ (1)

Από την ισεμβαδικότητα των ισοσκελών τριγώνων έχουμε $AM \cdot BM = SM \cdot PM \Rightarrow \dfrac{AM}{MP} = \dfrac{SM}{BM}$ (2).

Από τις (1),(2) συνεπάγεται η ομοιότητα των τριγώνων AMP

και

. Άρα θα είναι και $\angle SBM = \angle APM = \angle AM{'}M$ (3), όπου M{'}

το αντιδιαμετρικό του

.

Το τετράπλευρο AMA{'}M{'}

είναι όμως ορθογώνιο και θα ισχύει $\angle AM{'}M = \angle M{'}MA{'}$ και άρα λόγω της (3) $\angle SBM = \angle M{'}MA{'}$ και το ζητούμενο έπεται.

#3

Δεν νομίζω ότι υπάρχουν και μεγάλες διαφορές από τη λύση του Αλέξανδρου με τη λύση αυτή

Στάθης

Ισοσκελή, ισεμβαδικά με διχοτομούμενες βάσεις

Ισοσκελή, ισεμβαδικά με διχοτομούμενες βάσεις

Re: Ισοσκελή, ισεμβαδικά με διχοτομούμενες βάσεις

Re: Ισοσκελή, ισεμβαδικά με διχοτομούμενες βάσεις

Μέλη σε σύνδεση