Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 943
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Απρ 23, 2017 8:03 pm

111.png
111.png (6.51 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές
Στο παραπάνω ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma, υπολογίστε την γωνία \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1287
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 23, 2017 11:56 pm

Προφανώς, b=AC>BC>DC=a, οπότε b>a.

Φέρνουμε DE \perp AC.

Από τα ίσα ADB, \, ADE παίρνουμε DB=DE.

Από Θ. Διχοτόμου \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BA}{AC} \Leftrightarrow \dfrac{BD}{a}=\dfrac{\dfrac{a+b}{2}}{b}, άρα DB=DE=\dfrac{(a+b)a}{2b}.

Ακόμη, AE=AB=\dfrac{a+b}{2}, και αφού AC=b, EC=\dfrac{b-a}{2}.

Από Π.Θ., DC^2=DE^2+EC^2 \Leftrightarrow a^2=(\dfrac{(a+b)a}{2b})^2+(\dfrac{a-b}{2})^2

\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow a^3+a^2b+b^3=3ab^2 \Leftrightarrow (\dfrac{a}{b})^3+(\dfrac{a}{b})^2+1=3\dfrac{a}{b}, και με \dfrac{a}{b}=t<1, t^3+t^2+1=3t \Leftrightarrow (t-1)(t^2+2t-1)=0, οπότε t=\sqrt{2}-1.

Έτσι, a=b(\sqrt{2}-1).

Τελικά, \sin \widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a+b}{2b}=\dfrac{a}{2b}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, οπότε \widehat{B}=\widehat{C}=45^0.

Προφανές ότι \theta=\dfrac{45^0}{2}.
ORESTIS3.png
ORESTIS3.png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3780
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 24, 2017 12:39 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:111.png

Στο παραπάνω ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma, υπολογίστε την γωνία \theta .
Από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε: \dfrac{{BD}}{a} = \dfrac{{\dfrac{{a + b}}{2}}}{b} \Rightarrow \boxed{BD = \dfrac{{a\left( {a + b} \right)}}{{2b}}}:\left( 1 \right)

Αν DE \bot AC\left( {E \in AC} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{AD\;\Delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma } DE = BD = \dfrac{{a\left( {a + b} \right)}}{{2b}} και AE = AB = \dfrac{{a + b}}{2} \Rightarrow EC = b - \dfrac{{a + b}}{2} = \dfrac{{b - a}}{2}.

Εφαρμόζοντας το Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle DEC\left( \angle E={{90}^{0}} \right) θα έχουμε:

{a^2}\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{4{b^2}}} + \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4} = {a^2} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4} = {a^2}\left[ {1 - \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{4{b^2}}}} \right] \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}\left( {b - a} \right)\left( {a + 3b} \right)}}{{4{b^2}}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{:\left( {b - a} \right) > 0,\alpha \varphi o\upsilon \;b > \dfrac{{a + b}}{2}}

b\left( {b - a} \right) = {a^3} + 3{a^2}b \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} - {b^3} + 3{a^2}b = 0 \mathop  \Leftrightarrow \limits^{:{b^3}} \boxed{{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^3} + 3{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2} + \left( {\dfrac{a}{b}} \right) - 1 = 0}:\left( 1 \right).

Θέτουμε \left( \dfrac{a}{b} \right)=k και έχουμε για το πολυώνυμο f\left( k \right) = {k^3} + 3{k^2} + k - 1\mathop  = \limits^{\pi \rho o\varphi \alpha \nu \eta \;\rho \iota \zeta \alpha \;k =  - 1} \left( {k + 1} \right)\left( {m{k^2} + nk + l} \right)

= m{k^3} + \left( {m + n} \right){k^2} + \left( {l + n} \right)k + l \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  m = 1 \hfill \\ 
  m + n = 3 \hfill \\ 
  l + n = 1 \hfill \\ 
  l =  - 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  m = 1 \hfill \\ 
  n = 2 \hfill \\ 
  l + n = 1 \hfill \\ 
  l =  - 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Έτσι η εξίσωση \left( 1 \right) γίνεται ισοδύναμα \left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k - 1} \right) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k > 0} k = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2  - 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \sqrt 2  - 1 \Rightarrow \boxed{AB = \dfrac{{b\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{BC\sqrt 2 }}{2}}

Οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές και άρα \boxed{\angle \theta  = {{22,5}^0}}


Στάθης

Φαίνεται να "τρέχουν" γρηγορότερα οι "μικροί" :clap2:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 24, 2017 1:49 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:111.png

Στο παραπάνω ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma, υπολογίστε την γωνία \theta .
\displaystyle{EC = b - \frac{{a + b}}{2} = \frac{{b - a}}{2}} και με \displaystyle{CZ = DC = a}\displaystyle{ \Rightarrow EZ = EA = AB = \frac{{a + b}}{2}} άρα \displaystyle{\angle CDZ = \angle CZD = \theta  \Rightarrow \angle ACB = 2\theta }

Έτσι \displaystyle{4\theta  = {90^0} \Rightarrow \boxed{\theta  = {{22.5}^0}}}
ot15.png
ot15.png (9.98 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Απρ 24, 2017 9:42 am

Και μία τριγωνομετρική:

Από το τρίγωνο \triangle{A \Delta \Gamma} έχουμε \displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b} από νόμο ημιτόνων, ενώ από το \triangle{AB \Gamma} έχουμε \displaystyle \cos 2 \theta = \frac{a+b}{2b}.

Έτσι, 2 \cos 2 \theta = \tan \theta + 1 \implies 2 \cos 2 \theta \cos \theta = \cos \theta + \cos 3 \theta = \sin \theta + \cos \theta \implies

\displaystyle \implies \sin \theta = \cos 3 \theta = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 3 \theta \right) \implies \theta = \frac{\pi}{8}


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης