Ισοσκελές από τομές

#1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ , φέρνω τη διχοτόμο

.

Ο κύκλος που διέρχεται από το

και εφάπτεται της

στο

τέμνει τις $AB\,\,,AC$

Στα σημεία $K,\,\,L$ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες

και

τέμνονται στο

και οι

ευθείες $DL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ τέμνονται στο σημείο

δείξετε ότι CT = CS

.

#2

Doloros έγραψε:Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ , φέρνω τη διχοτόμο .

Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει τις $AB\,\,,AC$

Στα σημεία $K,\,\,L$ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες και τέμνονται στο και οι

ευθείες $DL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ τέμνονται στο σημείο δείξετε ότι .

Ευκολάκι

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Doloros έγραψε:Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ , φέρνω τη διχοτόμο .

Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει τις $AB\,\,,AC$

Στα σημεία $K,\,\,L$ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες και τέμνονται στο και οι

ευθείες $DL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ τέμνονται στο σημείο δείξετε ότι .
Ευκολάκι

Το ξέρω αλλά "στο καλάθι δεν χωρεί ενώ στο κοφίνι περισσεύει" . Πάντως δεν νομίζω να κυκλοφορεί.

#4

Doloros έγραψε:Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ , φέρνω τη διχοτόμο .

Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει τις $AB\,\,,AC$

Στα σημεία $K,\,\,L$ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες και τέμνονται στο και οι

ευθείες $DL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ τέμνονται στο σημείο δείξετε ότι .

Χαιρετώ τους φίλους!

: Ισοσκελές απο τομές.png (20.95 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Έστω $\displaystyle{H \equiv CB \cap TS}.$ Είναι $T\widehat DH=K\widehat AD=45^0$ (σχέση εγγεγραμμένης με γωνία χορδής εφαπτομένης) κι επειδή

το AKDL

είναι εγγεγραμμένο θα είναι $L\widehat DK=90^0,$ οπότε το ADST

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου TS.

Άρα,

$\displaystyle{S\widehat TD = S\widehat AD = {45^0} \Rightarrow HT = HD = HS},$ δηλαδή η

είναι μεσοκάθετος του TS,

οπότε $\boxed{CT=CS}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:
● Το

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου TSL,

άρα

● Το

είναι έγκεντρο του τριγώνου ASC

#5

Doloros έγραψε:Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ , φέρνω τη διχοτόμο .Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει τις $AB\,\,,AC$ . Στα σημεία $K,\,\,L$ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες και τέμνονται στο και οι ευθείες $DL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ τέμνονται στο σημείο δείξετε ότι .

Γράφω μια λύση στοιχηματίζοντας! ότι αυτή είναι και η σκέψη του Νίκου

: 1.png (23.07 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Προφανώς το κέντρο του περίκυκλου $\left( O \right)$ του είναι το μέσο της διαμέτρου του $\left( \angle A={{90}^{0}} \right)$ και ισχύει $KL\parallel BC\left( \angle KDB=\angle KAD=\angle DAL=\angle DKL \right)$ και η είναι η πολική του $P\equiv AD\cap KL$ ως προς τον $\left( O \right)$ , άρα $OP\equiv KL\bot ST\overset{KL\parallel BC}{\mathop{\Rightarrow }}\,BC\bot ST\overset{\angle KDB=\angle KAD={{45}^{0}}=\angle BDS}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle SDT$ ισοσκελές και με $DB\bot ST\Rightarrow DB\equiv SB$ είναι μεσοκάθετη της $ST\Rightarrow CS=CT$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Ισοσκελές από τομές

Ισοσκελές από τομές

Re: Ισοσκελές από τομές

Re: Ισοσκελές από τομές

Re: Ισοσκελές από τομές

Re: Ισοσκελές από τομές

Μέλη σε σύνδεση