Ακέραιο μήκος διαμέσου

#1

: Ακέραιο μήκος διαμέσου.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 1507 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ με διάμεσο

είναι $\widehat {ACM} = 2\widehat B$ .

Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αν ξέρουμε ότι η

έχει το

ελάχιστο δυνατό ακέραιο μήκος.

Αν σας φανεί εύκολη , υποβιβασμός.

#2

Doloros έγραψε:Ακέραιο μήκος διαμέσου.png

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ με διάμεσο είναι $\widehat {ACM} = 2\widehat B$ .

Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αν ξέρουμε ότι η έχει το

ελάχιστο δυνατό ακέραιο μήκος.

Αν σας φανεί εύκολη , υποβιβασμός.

: Ακέραιο μήκος διαμέσου.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 1468 φορές

Έστω

η διχοτόμος του τριγώνου ACM.

Από υπόθεση είναι CM=1,

οπότε από Π. Θ στο ίδιο τρίγωνο $\boxed{c^2+4b^2=4}$ (1)

Από θεώρημα διχοτόμων $\displaystyle{AD = \frac{{bc}}{{2(b + 1)}}}$ και $\displaystyle{\tan \theta = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{bc}}{{2b(b + 1)}} = \frac{b}{c}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 3{b^2} + b - 2 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{b > 0} }$ $\boxed{b=\frac{2}{3}}$

Από την (1)

τώρα, $\boxed{c = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}}}$ και με Π. Θ στο ABC,

$\boxed{a = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}$

#3

Με εμβαδά και Π.Θ

$(AMC)=(MCB)\Rightarrow$ $\dfrac{1}{2}AC\cdot CM\sin(2\theta)=\dfrac{1}{2}MB\cdot BC \sin(\theta)\stackrel{\cos(\theta)=c/a}\Rightarrow a^2=4b\quad (1)$

$\triangle{ACM}\rightarrow \quad b^2+\dfrac{c^2}{4}=1$ και $\triangle{ABC}\rightarrow \quad a^2=b^2+c^2$

$(1)\Rightarrow 3b^2+4b-4=0\Rightarrow b=\dfrac{2}{3}\quad a=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\quad ,c=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$

Νίκο,Γιώργο καλό απόγευμα

Ακέραιο μήκος διαμέσου

Ακέραιο μήκος διαμέσου

Re: Ακέραιο μήκος διαμέσου

Re: Ακέραιο μήκος διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση