Ακέραιο μήκος διαμέσου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7214
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ακέραιο μήκος διαμέσου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιουν 12, 2017 9:43 am

Ακέραιο μήκος διαμέσου.png
Ακέραιο μήκος διαμέσου.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC(A = 90^\circ ) με διάμεσο CMείναι \widehat {ACM} = 2\widehat B.

Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αν ξέρουμε ότι η CM έχει το

ελάχιστο δυνατό ακέραιο μήκος.


Αν σας φανεί εύκολη , υποβιβασμός.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακέραιο μήκος διαμέσου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 12, 2017 2:00 pm

Doloros έγραψε:Ακέραιο μήκος διαμέσου.png

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC(A = 90^\circ ) με διάμεσο CMείναι \widehat {ACM} = 2\widehat B.

Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αν ξέρουμε ότι η CM έχει το

ελάχιστο δυνατό ακέραιο μήκος.


Αν σας φανεί εύκολη , υποβιβασμός.
Ακέραιο μήκος διαμέσου.png
Ακέραιο μήκος διαμέσου.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές
Έστω CD η διχοτόμος του τριγώνου ACM. Από υπόθεση είναι CM=1, οπότε από Π. Θ στο ίδιο τρίγωνο \boxed{c^2+4b^2=4} (1)

Από θεώρημα διχοτόμων \displaystyle{AD = \frac{{bc}}{{2(b + 1)}}} και \displaystyle{\tan \theta  = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{bc}}{{2b(b + 1)}} = \frac{b}{c}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} 3{b^2} + b - 2 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{b > 0} } \boxed{b=\frac{2}{3}}

Από την (1) τώρα, \boxed{c = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}}} και με Π. Θ στο ABC, \boxed{a = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ακέραιο μήκος διαμέσου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Ιουν 12, 2017 6:59 pm

Με εμβαδά και Π.Θ

(AMC)=(MCB)\Rightarrow\dfrac{1}{2}AC\cdot CM\sin(2\theta)=\dfrac{1}{2}MB\cdot BC \sin(\theta)\stackrel{\cos(\theta)=c/a}\Rightarrow a^2=4b\quad (1)

\triangle{ACM}\rightarrow \quad b^2+\dfrac{c^2}{4}=1 και \triangle{ABC}\rightarrow  \quad a^2=b^2+c^2

(1)\Rightarrow 3b^2+4b-4=0\Rightarrow b=\dfrac{2}{3}\quad a=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\quad ,c=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}

Νίκο,Γιώργο καλό απόγευμα :)


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες