Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία
εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου . Υπολογίστε την .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία
Ας είναι . Τα τρίγωνα είναι ίσα και τα είναι όμοια.KARKAR έγραψε:Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , η μεσοκάθετη της
εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου . Υπολογίστε την .
Οπότε: δηλαδή .
Από το Π.Θ. στο ορθ. τρίγωνο προκύπτει ότι .
Έτσι, .
Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία
Μια παρεμφερή λύση
Για την κατασκευή σχήματος ακριβείας
Σε λίγο και τα λόγια
Η πιο πάνω λύση είναι πολύ πιο απλή από τη δική μου αλλά επειδή έβαλα σχήμα γράφω και δυο λόγια.
Αν οι προβολές του στις , ενώ η κόψει την στο και
το ημικύκλιο τις στα , το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η
διχοτόμος , ύψος και διάμεσός του. Θέτω . Εύκολα έχω :
Αν το κέντρο του ημικυκλίου
Από την ομοιότητα των τριγώνων έχω :
ενώ προφανώς . Από τις
Βρίσκω τα οπότε ο λόγος που ζητώ υπολογίζεται απλά .
Για την κατασκευή σχήματος ακριβείας
Σε λίγο και τα λόγια
Η πιο πάνω λύση είναι πολύ πιο απλή από τη δική μου αλλά επειδή έβαλα σχήμα γράφω και δυο λόγια.
Αν οι προβολές του στις , ενώ η κόψει την στο και
το ημικύκλιο τις στα , το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η
διχοτόμος , ύψος και διάμεσός του. Θέτω . Εύκολα έχω :
Αν το κέντρο του ημικυκλίου
Από την ομοιότητα των τριγώνων έχω :
ενώ προφανώς . Από τις
Βρίσκω τα οπότε ο λόγος που ζητώ υπολογίζεται απλά .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία
Η κατασκευή του σχήματος ανάγεται στην παρακάτω:
Σε ημικύκλιο διαμέτρου να εγγραφεί ισοσκελές τραπέζιο ώστε
Σε ημικύκλιο διαμέτρου να εγγραφεί ισοσκελές τραπέζιο ώστε
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία
Άλλη μια λύση...πιο μπελαλίδικηKARKAR έγραψε:Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , η μεσοκάθετη της
εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου . Υπολογίστε την .
Από την προφανή ισότητα των κόκκινων γωνιών ,
Ο κύκλος του εφάπτεται της
Με Π.Θ στο
Με Π.Θ στο ( είναι το ύψος του )
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Τετ Ιουν 21, 2017 3:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία
και μία με αναλυτική...
Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όπου Ο το μέσο της ,
, και.
Τότε το μέσο της είναι και η εφαπτομένη
που ζητάμε είναι .
Η ευθεία έχει εξίσωση και .
Η ευθεία είναι κάθετη την , και έχει εξίσωση .
H εφάπτεται στον κύκλο με κέντρο και ακτίνα , άρα
.
Αν θέσουμε καταλήγουμε
άρα
Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όπου Ο το μέσο της ,
, και.
Τότε το μέσο της είναι και η εφαπτομένη
που ζητάμε είναι .
Η ευθεία έχει εξίσωση και .
Η ευθεία είναι κάθετη την , και έχει εξίσωση .
H εφάπτεται στον κύκλο με κέντρο και ακτίνα , άρα
.
Αν θέσουμε καταλήγουμε
άρα
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Ιάσων Κωνσταντόπουλος, MSN [Bot] και 6 επισκέπτες