Αναμενόμενη εφαπτομένη
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Αναμενόμενη εφαπτομένη
Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου που το τέμνει στο , η κάθετη στο επί την .
Δείξετε ότι η εφάπτεται του ημικυκλίου.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Αναμενόμενη εφαπτομένη
Νίκο καλησπέρα.
Αρχικά στο ακόλουθο σχήμα ας θυμηθούμε τα ακόλουθα:
Αν το σημείο είναι τυχαίο σημείο επί της διαμέτρου ενός κύκλου
και σ' αυτή υψώσουμε κάθετη στη διάμετρο , τότε αυτή θα ορίσει επί του κύκλου
τα σημεία . Αν τώρα στα σημεία αυτά φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου,
αυτή θα ορίσει στην προέκταση της διαμέτρου σημείο , το οποίο θα είναι συζυγές
αρμονικό του σημείου .
Το σημείο αυτό είναι μοναδικό και εξαρτάται από τη θέση του σημείου .
(Θυμίζουμε ότι η λέγεται και πολική του σημείου )
Τα ανωτέρω εύκολα δείχνονται αν σκεφτεί κανείς ότι οι είναι αντίστοιχα
η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου .
Για το ερώτημα της άσκησης εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Θα θυμηθούμε το θεώρημα του Πάππου για τις δέσμες ευθειών που διατηρούν το διπλό λόγο,
όταν αυτές τέμονται από άλλες ευθείες.
Κατ' αρχήν το συζυγές αρμονικό του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι το επ' άπειρον σημείο.
Δηλαδή: η τετράδα των ευθειών είναι αρμονική, άρα σύμφωνα με το Θεώρημα
του Πάππου οι ευθείες αυτές θα ορίζουν επί της αρμονική τετράδα.
Άρα:
αρμονική.
Έτσι σύμφωνα με την προηγούμενη αναφορά, αν στο σημείο , φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου
με διάμετρο την , αυτή θα διέλθει από το .
Η διαπίστωση αυτή μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι αν από το σημείο , φέρουμε την εφαπτομένη στον
κύκλο αυτό, αυτή θα περάσει από το σημείο λόγω της μοναδικότητας του συζυγούς αρμονικού.
Κώστας Δόρτσιος
Re: Αναμενόμενη εφαπτομένη
Κώστα καλησπέρα .KDORTSI έγραψε: ↑Δευ Οκτ 09, 2017 6:00 pmΝίκο καλησπέρα.
Αρχικά στο ακόλουθο σχήμα ας θυμηθούμε τα ακόλουθα:
Αναμενόμενη εφαπτομένη 1.png
Αν το σημείο είναι τυχαίο σημείο επί της διαμέτρου ενός κύκλου
και σ' αυτή υψώσουμε κάθετη στη διάμετρο , τότε αυτή θα ορίσει επί του κύκλου
τα σημεία . Αν τώρα στα σημεία αυτά φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου,
αυτή θα ορίσει στην προέκταση της διαμέτρου σημείο , το οποίο θα είναι συζυγές
αρμονικό του σημείου .
Το σημείο αυτό είναι μοναδικό και εξαρτάται από τη θέση του σημείου .
(Θυμίζουμε ότι η λέγεται και πολική του σημείου )
Τα ανωτέρω εύκολα δείχνονται αν σκεφτεί κανείς ότι οι είναι αντίστοιχα
η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου .
Για το ερώτημα της άσκησης εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Αναμενόμενη εφαπτομένη 2.png
Θα θυμηθούμε το θεώρημα του Πάππου για τις δέσμες ευθειών που διατηρούν το διπλό λόγο,
όταν αυτές τέμονται από άλλες ευθείες.
Κατ' αρχήν το συζυγές αρμονικό του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι το επ' άπειρον σημείο.
Δηλαδή: η τετράδα των ευθειών είναι αρμονική, άρα σύμφωνα με το Θεώρημα
του Πάππου οι ευθείες αυτές θα ορίζουν επί της αρμονική τετράδα.
Άρα:
αρμονική.
Έτσι σύμφωνα με την προηγούμενη αναφορά, αν στο σημείο , φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου
με διάμετρο την , αυτή θα διέλθει από το .
Η διαπίστωση αυτή μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι αν από το σημείο , φέρουμε την εφαπτομένη στον
κύκλο αυτό, αυτή θα περάσει από το σημείο λόγω της μοναδικότητας του συζυγούς αρμονικού.
Κώστας Δόρτσιος
Ευχαριστώ για την ωραία λύση . Αλλά δεν είναι μόνο ή λύση είναι και η εν γένει άψογη παρουσίαση με απαράμιλλο διδακτικό τρόπο !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες