Εφάπτονται!

harrisp · #1

Μια προσωπική κατασκευή...

Δίνεται κύκλος C(A,AB)

και κύκλος (B,BD)

που τέμνει τον C στα D,E

. Οι εφαπτομένες του C στα σημεία αυτά τέμνουν τον (B,BD)

στα

. Να αποδείξετε οτι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου BHZ

και ο C εφάπτονται στο Β.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

το κέντρο του (B, H, Z)

. Αρκεί τα σημεία A, B, C

να είναι συνευθειακά.

Έχουμε πως BH=BZ

(ακτίνες του κύκλου (B, BD)

), άρα έχουμε πως $BC\perp HZ$ .

Όμοια έχουμε πως BD=BE

, άρα έχουμε πως $BA\perp DE$ .

Αρκεί λοιπόν DE//HZ

. Όμως έχουμε πως $\widehat{EDH}=\widehat{DEZ}$ (αφού οι

και

είναι εφαπτόμενες) $=180^o-\widehat{DHZ}$ (από το εγγράψιμο DEZH

). Πράγματι λοιπόν DE//HZ

και το ζητούμενο έπεται.

harrisp · #3

Ακριβώς!