Διακεντρικό μέγιστο

KARKAR · #1

: Διακεντρικό μέγιστο.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Οι κύκλοι (O,R)

και

τέμνονται σε δύο σημεία . Το ένα είναι το

.

Η διάκεντρος προεκτεινόμενη τέμνει τους κύκλους στα ακραία σημεία A,B

.

Βρείτε τύπο που να δίνει το (SAB)

και υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 30, 2017 2:38 pm Διακεντρικό μέγιστο.pngΟι κύκλοι και τέμνονται σε δύο σημεία . Το ένα είναι το .

Η διάκεντρος προεκτεινόμενη τέμνει τους κύκλους στα ακραία σημεία .

Βρείτε τύπο που να δίνει το και υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του .

: Διακεντρικό μέγιστο.png (21.61 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές

Έστω

το ύψος του τριγώνου SAB

. $\boxed{(SAB) = \frac{1}{2}\left( {R + r + \sqrt {{R^2} - {x^2}} + \sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right)x}$

Όσο για τη μέγιστη τιμή, νομίζω ότι μπορεί να απαντηθεί μόνο αν δοθούν συγκεκριμένες τιμές στις ακτίνες.

(π.χ για R=4, r=3

, είναι $\displaystyle {(SAB)_{\max }} = 4 + 8\sqrt 2$ όταν $x=2\sqrt 2$ ).

KARKAR · #3

: Διακεντρικό μέγιστο.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

Γιώργο ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με ένα "σκοτωμένο" θέμα και τις ... ακτίνες .

Η δική μου προσέγγιση : Θέτω OK=x ,1<x<7

. Τότε από τον τύπο :

$h=\dfrac{2}{a}\sqrt{t(t-a)(t-b)(t-c)$ , βρίσκω :

$h=\dfrac{1}{2x}\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)$ , $E(x)=\dfrac{(7+x)\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}}{4x}$ .

Η συνάρτηση έχει παράγωγο : $E'(x)=\dfrac{-2x^5-7x^4+50x^3+343}{4x^2\sqrt{-x^4+50x^2-49}}$ .

Αυτή η παράσταση "παίζεται" ! Για τα δεδομένα

, ο παρονομαστής είναι θετικός ( γιατί ; ) , ενώ

ο αριθμητής έχοντας προφανή ρίζα την x=-7

, γράφεται : -(x+7)(2x^4-7x^3-x^2+7x-49)

.

Και τώρα το "colpo grosso" : Παραγοντοποιείται το : 2x^4-7x^3-x^2+7x-49

;

Εδώ έχουμε δύσκολη άλγεβρα αλλά ....γίνεται .

Συγκεκριμένα γράφεται : (2x^2-3x+7)(x^2-2x-7)

, με το πρώτο τριώνυμο να μην έχει

πραγματικές ρίζες και το δεύτερο να έχει μία αρνητική και την πολυπόθητη λύση : $x=1+2\sqrt{2}$ .

Αυτή η τιμή του

δίνει μέγιστο το $4+8\sqrt{2}$ , όσο ( φυσικά) βρήκε και ο Γιώργος .
Για λύση με τυχούσες R,r

, ούτε λόγος

Διακεντρικό μέγιστο

Διακεντρικό μέγιστο

Re: Διακεντρικό μέγιστο

Re: Διακεντρικό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση