Ένα τρίτο

KARKAR · #1

: Ένα τρίτο.png (16.15 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές

Το σημείο

ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2R

και έστω

το μέσο της χορδής

.

Οι προεκτάσεις των BC,OM

, μαζί με την εφαπτομένη στο

δημιουργούν το τετράπλευρο PQCM

.

Αν

είναι η τομή των PB,QM

, δείξτε ότι $\widehat{PSM}=90^0$ . Αν : $\dfrac{PS}{SB}=\dfrac{1}{2}$ , υπολογίστε το

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 30, 2017 3:02 pm
Ένα τρίτο.png Το σημείο ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου και έστω το μέσο της χορδής .

Οι προεκτάσεις των , μαζί με την εφαπτομένη στο δημιουργούν το τετράπλευρο .

Αν είναι η τομή των , δείξτε ότι $\widehat{PSM}=90^0$ . Αν : $\dfrac{PS}{SB}=\dfrac{1}{2}$ , υπολογίστε το .

Μια πρώτη σκέψη...

Λόγω του ορθογωνίου $\displaystyle PMCQ$ και γωνίας υπό χορδής-εφαπτόμενης,οι γωνίες $\displaystyle x$ είναι ίσες

Άρα $\displaystyle AP//QM$ κι επειδή $\displaystyle AP \bot PB \Rightarrow \boxed{QM \bot PB}$ .Επιπλέον,αν $\displaystyle QM \cap AB = N$ το $\displaystyle PMNA$ είναι ισοσκελές τραπέζιο

αφού $\displaystyle \angle APO = \angle OAP$ ,άρα $\displaystyle NO = OM = \frac{{BC}}{2}$ και $\displaystyle PN \bot AB$

$\displaystyle \frac{{PS}}{{SB}} = \frac{{P{N^2}}}{{N{B^2}}} \Rightarrow 2P{N^2} = N{B^2} \Rightarrow 2AN \cdot NB = N{B^2} \Rightarrow NB = 2NA \Rightarrow NA = \frac{{2R}}{3} \Rightarrow ON = OM = \frac{R}{3}$ .Άρα $\displaystyle \boxed{BC = \frac{{2R}}{3}}$

: ένα τρίτο.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 430 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 30, 2017 3:02 pm
Ένα τρίτο.png Το σημείο ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου και έστω το μέσο της χορδής .

Οι προεκτάσεις των , μαζί με την εφαπτομένη στο δημιουργούν το τετράπλευρο .

Αν είναι η τομή των , δείξτε ότι $\widehat{PSM}=90^0$ . Αν : $\dfrac{PS}{SB}=\dfrac{1}{2}$ , υπολογίστε το .

: 1 Τρίτο.png (17.17 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές

Η

είναι μεσοκάθετη του

κι επειδή το PQCM

είναι ορθογώνιο, θα είναι AP=PC=QM

και

άρα το

είναι παραλληλόγραμμο και $\displaystyle PB \bot AP \Leftrightarrow$ $\boxed{PB \bot MQ}$

$\displaystyle PM||QB \Leftrightarrow \frac{{PM}}{{QB}} = \frac{{PS}}{{SB}} = \frac{1}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{PM = QC} PM = CB = 2MO \Leftrightarrow$ $\boxed{CB=\frac{2R}{3}}$

Ένα τρίτο

Ένα τρίτο

Re: Ένα τρίτο

Re: Ένα τρίτο

Μέλη σε σύνδεση