Παιδεία εγκύκλου
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Παιδεία εγκύκλου
τον έγκυκλο , ο οποίος εφάπτεται της στο και τέμνεται από την στο .
α) ( μονάδες 5 ) Υπολογίστε το λόγο :
β) ( μονάδες 8 ) Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας :
α) ( μονάδες 12 ) Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας :
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Παιδεία εγκύκλου
Έστω τα σημεία επαφής των με τον κύκλο .KARKAR έγραψε: ↑Τετ Ιαν 03, 2018 11:32 amΠεδίο εγκύκλου.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές σχεδιάσαμε
τον έγκυκλο , ο οποίος εφάπτεται της στο και τέμνεται από την στο .
α) ( μονάδες 5 ) Υπολογίστε το λόγο :
β) ( μονάδες 8 ) Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας :
α) ( μονάδες 12 ) Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας :
Α) Από Π. Θ. στο έχω . Με δύναμη σημείου του ως προς τον κύκλο έχω : . Άρα .
Β) Επειδή έχω : . Ομοίως :
.
Άρα . Ας είναι η προβολή του στην .
Επειδή έχω εύκολα: Μετά απ’ αυτά :
και άρα και
Γ)
Επειδή η άσκηση έχει κι άλλα ενδιαφέροντα ίσως ο , μας ζητήσει και άλλα ερωτήματα
Re: Παιδεία εγκύκλου
αντίστοιχα , βρείτε και τους λόγους : και .
Re: Παιδεία εγκύκλου
[quote=KARKAR post_id=293796 time=1514982183 user_id=3451]
Πεδίο εγκύκλου.png ...Γιατί όχι ; Αν το τμήμα τέμνει τις στα σημεία
αντίστοιχα , βρείτε και τους λόγους : και .
[/quote]
[attachment=0]παιδεία εγκύκλου_new.png[/attachment]
[b][color=#0000FF]Για όλα τα ερωτήματα παλιά και νέα υπάρχει αμιγώς γεωμετρική λύση.[/color][/b]
[color=#0000FF]Άρση απόκρυψης για να "μιλήσει" το σχήμα πιο καλά και για το νέο, τρίτο επιπρόσθετο, ερώτημα.[/color]
Πεδίο εγκύκλου.png ...Γιατί όχι ; Αν το τμήμα τέμνει τις στα σημεία
αντίστοιχα , βρείτε και τους λόγους : και .
[/quote]
[attachment=0]παιδεία εγκύκλου_new.png[/attachment]
[b][color=#0000FF]Για όλα τα ερωτήματα παλιά και νέα υπάρχει αμιγώς γεωμετρική λύση.[/color][/b]
[color=#0000FF]Άρση απόκρυψης για να "μιλήσει" το σχήμα πιο καλά και για το νέο, τρίτο επιπρόσθετο, ερώτημα.[/color]
- Συνημμένα
-
- παιδεία εγκύκλου_new.png (24.72 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τετ Ιαν 03, 2018 10:19 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Παιδεία εγκύκλου
ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά ( συνεχίζεται ...)
Re: Παιδεία εγκύκλου
το πως πήρε αυτό το όνομα το σημείο , υπολογίστε το λόγο : .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παιδεία εγκύκλου
Το όνομα του φαντάζομαι ότι προέρχεται από κάποιο βαρύκεντρο. Υπάρχουν άπειρα τρίγωνα με βαρύκεντρο το
Για παράδειγμα η κάθετη από το στην τέμνει την σε ένα σημείο π.χ όπου το χωρίζεται από
το σε λόγο και είναι βαρύκεντρο του Δεν μπορώ πάντως να ξέρω τι έχει στο μυαλό του ο θεματοδότης. Στο άλλο θέμα τώρα, από είναι
απ' όπου λόγω των παραλληλιών και Έτσι έχουμε:
Re: Παιδεία εγκύκλου
Έστω το κέντρο του κύκλου και η ακτίνα του . Προφανώς
. Είναι :
Από Π. Θ. στο έχω . ενώ από τη δ΄τναμαη του ως προς το κύκλο έχω .
1.
2. Η τελευταία σχέση μας εξασφαλίζει ότι , .
Ας είναι το σημείο τομής της με την
Παίρνω τώρα Θ Μενελάου :
α) στο με διατέμνουσα :
. Άρα
β) στο με διατέμνουσα :
Αλλά . Οπότε .
Αν τώρα το άλλο σημείο τομής της με τον κύκλο θα είναι : . Δηλαδή το είναι μέσο του .
Αυτό έχει σαν συνέπεια να είναι : άρα το είναι αντιδιαμετρικό του και . Αφού όμως θα είναι .
Προφανώς τώρα η διχοτομεί την ορθή γωνία .
3. Αφού τώρα το τετράπλευρο έχει τις γωνίες στα ορθές είναι εγγράψιμο και έτσι : .
Πάμε παρακάτω.
Ας είναι το σημείο τομής της με τη .
Από Θ. Μενελάου στο με διατέμνουσα ( ή λόγω αρμονικότητας της τετράδας ) έχω : .
κι αυτό γιατί .
Ακόμη , Από Θ. Μενελάου στο με διατέμνουσα έχω :
.
Τέλος έστω το σημείο τομής του κύκλου με . Επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές θα είναι: . Αλλά αφού .
Έτσι τελικά : που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .
Στο άλλο με το σημείο έχει απαντήσει ο Γιώργος αλλά θα δω κι εγώ αν κάτι έχω να προσθέσω .
. Είναι :
Από Π. Θ. στο έχω . ενώ από τη δ΄τναμαη του ως προς το κύκλο έχω .
1.
2. Η τελευταία σχέση μας εξασφαλίζει ότι , .
Ας είναι το σημείο τομής της με την
Παίρνω τώρα Θ Μενελάου :
α) στο με διατέμνουσα :
. Άρα
β) στο με διατέμνουσα :
Αλλά . Οπότε .
Αν τώρα το άλλο σημείο τομής της με τον κύκλο θα είναι : . Δηλαδή το είναι μέσο του .
Αυτό έχει σαν συνέπεια να είναι : άρα το είναι αντιδιαμετρικό του και . Αφού όμως θα είναι .
Προφανώς τώρα η διχοτομεί την ορθή γωνία .
3. Αφού τώρα το τετράπλευρο έχει τις γωνίες στα ορθές είναι εγγράψιμο και έτσι : .
Πάμε παρακάτω.
Ας είναι το σημείο τομής της με τη .
Από Θ. Μενελάου στο με διατέμνουσα ( ή λόγω αρμονικότητας της τετράδας ) έχω : .
κι αυτό γιατί .
Ακόμη , Από Θ. Μενελάου στο με διατέμνουσα έχω :
.
Τέλος έστω το σημείο τομής του κύκλου με . Επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές θα είναι: . Αλλά αφού .
Έτσι τελικά : που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .
Στο άλλο με το σημείο έχει απαντήσει ο Γιώργος αλλά θα δω κι εγώ αν κάτι έχω να προσθέσω .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παιδεία εγκύκλου
Μου κάνει εντύπωση που δεν πέρασε απ' το μυαλό μου το επώνυμο θεώρημα
κι έψαχνα απεγνωσμένα να βρω ένα βαρύκεντρο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες