Ισότητα σε τραπέζιο

#1

: Ισότητα σε τραπέζιο.png (13.94 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

Από τα μέσα M, N

των μη παράλληλων πλευρών AD, BC

τραπεζίου

φέρνω κάθετες στις

BD, AC

αντίστοιχα, που τέμνονται στο

Να δείξετε ότι PC=PD.

KARKAR · #2

: Ισότητα σε τραπέζιο.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Λόγω των καθετοτήτων , ισχύουν : ON^2-NC^2=OP^2-PC^2

και

. Με αφαίρεση των δύο , βρίσκουμε :

ON^2-OM^2+MD^2-NC^2=PD^2-PC^2

(*) . Αλλά έχουμε

αποδείξει εδώ , ότι : ON^2-OM^2=NC^2-MD^2

, συνεπώς

το πρώτο μέλος της (*) είναι μηδέν , άρα και το δεύτερο , δηλαδή : PD=PC

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα!

: 26-1-18 GV Ισότητα σε τραπέζιο.PNG (10.02 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Έστω

το μέσον της

τότε $MG\parallel AC\Rightarrow MGE\perp NP$ και $NG\parallel BD\Rightarrow NGZ\perp MP$

συνεπώς το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου PMN

άρα $PGH \perp MN \parallel CD$

δηλ. το ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο PCD

που σημαίνει PC=PD

.

Φιλικά Γιώργος.

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 26, 2018 5:33 pm
Ισότητα σε τραπέζιο.png
Από τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών τραπεζίου φέρνω κάθετες στις

αντίστοιχα, που τέμνονται στο Να δείξετε ότι

Καλησπέρα

Εστω ότι ο σημείο

είναι το μέσο της βάσης

θα αποδείξω ότι $FP\perp DC$

Από τη διάμεσο του τραπεζίου

ισχύουν

Από τα παραληλλόγραμμα KFCN,KNFD

είναι $MT\perp PN,N\Pi \perp MP$

Αρα το τετράπλευρο $F\Pi PT$

είναι εγράψιμο σε κύκλο . Ακόμη είναι $\hat{\Pi TP}=\Pi MN=y,$

λογω του εγραψίμου τετραπλευρου $M\Pi TN$

$\hat{\epsilon }=\hat{KDF}=\hat{DF\Pi },\hat{y}=\hat{\Pi TP}=\hat{\Pi FP}$

Συνεπώς $\epsilon +y=\epsilon +90-\epsilon =90=\hat{DFP}$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 26, 2018 5:33 pm
Ισότητα σε τραπέζιο.png
Από τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών τραπεζίου φέρνω κάθετες στις

αντίστοιχα, που τέμνονται στο Να δείξετε ότι

Με $\displaystyle AE \bot BD$ και $\displaystyle BZ \bot AC \Rightarrow MP,NP$ μεσοκάθετοι των $\displaystyle DE,CZ$ και $\displaystyle ABZE$ εγγράψιμο

Άρα οι γωνίες $\displaystyle x$ είναι ίσες $\displaystyle \Rightarrow DEZC$ εγγράψιμο με $\displaystyle P$ κέντρο του περίκυκλου αυτού.Άρα $\displaystyle \boxed{PD = PC}$

: ισότητα σε τραπέζιο.png (23.36 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

Ισότητα σε τραπέζιο

Ισότητα σε τραπέζιο

Re: Ισότητα σε τραπέζιο

Re: Ισότητα σε τραπέζιο

Re: Ισότητα σε τραπέζιο

Re: Ισότητα σε τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση