Θέλει να του μοιάσει

KARKAR · #1

: Θέλει να του μοιάσει.png (15.85 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Τα σημεία M , N

είναι τα μέσα των πλευρών BC , CD , (BC< CD)

αντίστοιχα ,

του ορθογωνίου ABCD

, ενώ το

είναι το σημείο τομής των BN,DM

.

α) Δείξτε ότι το

είναι σημείο της διαγωνίου

.

β) Δείξτε ότι : $\widehat{BSM}=\widehat{MAN}$ .

γ) Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , ώστε τα τρίγωνα BSM , MAN

να είναι όμοια .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2018 9:57 am
Θέλει να του μοιάσει.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα ,

του ορθογωνίου , ενώ το είναι το σημείο τομής των .

α) Δείξτε ότι το είναι σημείο της διαγωνίου .

β) Δείξτε ότι : $\widehat{BSM}=\widehat{MAN}$ .

γ) Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , ώστε τα τρίγωνα να είναι όμοια .

: Θέλει να του μοιάσει.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

α) Είναι $\displaystyle \frac{{DS}}{{SM}} = \frac{{BS}}{{SN}} = \frac{{BD}}{{MN}} = \frac{2}{1},$ άρα το

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου CBD

οπότε η

είναι διάμεσος,

δηλαδή το

είναι σημείο της AC.

β) $\displaystyle B\widehat SM = \omega + \varphi .$ Αλλά, $\displaystyle \omega = M\widehat AC$ (τα τρίγωνα AMC, DBM

είναι φανερά ίσα) και ομοίως $\displaystyle \varphi = C\widehat AN.$

Άρα $\boxed{\widehat{BSM}=\widehat{MAN}}$

γ) Αν τα τρίγωνα BSM , MAN

είναι όμοια, $\displaystyle \frac{{MN}}{{MB}} = \frac{{AM}}{{BS}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{b} = \frac{{\sqrt {{a^2} + \frac{{{b^2}}}{4}} }}{{\frac{2}{3}\sqrt {{b^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} \Rightarrow ...$ $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt {\frac{7}{2}} }$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2018 9:57 am
Θέλει να του μοιάσει.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα ,

του ορθογωνίου , ενώ το είναι το σημείο τομής των .

α) Δείξτε ότι το είναι σημείο της διαγωνίου .

β) Δείξτε ότι : $\widehat{BSM}=\widehat{MAN}$ .

γ) Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , ώστε τα τρίγωνα να είναι όμοια .

Για το πρώτο ερώτημα

Εστω

το σημείο τομής των AC,NB

Θα αποδείξω ότι τα σημεία D,S,M

είναι συνευθειακά

Στο τρίγωνο NCB

με τέμνουσα DSM

με το αντίστροφο του θεωρήματος του Μενελάου θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{SB}{NS}.\dfrac{DN}{DC}.\dfrac{CM}{MB}=1,(1)$

Απο τα όμοια τρίγωνα $NSC.ABS,\dfrac{SB}{NS}=\dfrac{SC}{AS}=\dfrac{AB}{NC}=2,(2)$
Οπότε η (1)

ισχύει λόγω της (2)

Τα υπόλοιπα ερωτήματα αργότερα

Γιάννης

Για το δευτερο και τρίτο ερώτημα
β)Τα τρίγωνα NAB,MAD

είναι ισοσκελή γιατί NA=NB,MD=MA

απο τις ισότητες των γωνιών $\hat{DAP}=\hat{NBM}=90-\nu ,\nu =\hat{AND},\hat{ADP}=90-\sigma =\hat{DMC},\sigma =\hat{MDC}$
Τα τρίγωνα DAP,EMB

είναι όμοια ,άρα $\hat{APD}=\hat{MEB}=\hat{NEA}$
και το τετράπλευρο APSE

είναι εγράψιμο ,οπότε $\hat{NAE}=\hat{DSN}$

γ) Από τη σχέση $\dfrac{NM}{BM}=\dfrac{AM}{BS}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{b}=\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{4a^{2}+b^{2}}{a^{2}+4b^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\sqrt{\dfrac{7}{2}}$

#4

Αν και η λύση του Γιώργου είναι σε στοιχειώδεις βάσεις ας δούμε κι αυτό.

1. Το τετράπλευρο MNBD

είναι τραπέζιο και επομένως η ευθεία

θα διέρχεται από τα μέσα των βάσεων του , δηλαδή θα συμπίπτει με την ευθεία

.

Προφανώς δε το

θα είναι το βαρύκεντρο του $\vartriangle CDB$ .

2. Έστω K,L

τα σημεία τομής της

με τις $AN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM$ αντίστοιχα . Θα είναι

$DL = LK = KB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SK//BC$ . Αν η

κόψει την

στο

θα είναι :

Ισογώνια τα τρίγωνα : $NSK\,\kappa \alpha \iota \,\,NDA\,\,,\,\,SEB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADM$ οπότε :

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_4}} \hfill \\ \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}}$

: Θέλει να του μοιάσει_new_1.png (29.97 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

3. $\vartriangle MAN \approx \vartriangle LAK$ άρα θα πρέπει $\vartriangle NSB \approx \vartriangle LAK$ προς τούτο αρκεί να ισχύει:

$\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{{AL}}{{AK}} \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{1}{3}DN}}{{\dfrac{2}{3}MB}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3}MA}}{{\dfrac{2}{3}AN}} \Leftrightarrow \boxed{A{N^2} = 2M{A^2}}$ Θέτω $b = ax\,\,,\,\,x > 0$ και έχω :

${a^2}(1 + \dfrac{{{x^2}}}{4}) = 2{a^2}({x^2} + \dfrac{1}{4}) \Rightarrow \boxed{x = \sqrt {\dfrac{2}{7}} }$

Θέλει να του μοιάσει

Θέλει να του μοιάσει

Re: Θέλει να του μοιάσει

Re: Θέλει να του μοιάσει

Re: Θέλει να του μοιάσει

Μέλη σε σύνδεση