Καθετότητα στο Μέσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Καθετότητα στο Μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Φεβ 26, 2018 3:54 pm

Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD. Προεκτείνουμε τις DA,DC κατά τμήματα AE=BC,CF=BA αντίστοιχα. Να αποδειξετε ότι MA\perp MC, όπου M το μέσο της EF.

Μέχρι τον νέο μήνα για μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Καθετότητα στο Μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Φεβ 26, 2018 11:03 pm

Καθετότητα στο Μέσο.png
Καθετότητα στο Μέσο.png (36.17 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές
Καταρχάς είναι προφανές πως το M βρίσκεται στο διαφορετικό ημιεπίπεδο από το D ως προς την AC.

Έστω E' και F' τα συμμετρικά του E και του F προς τα A και C αντίστοιχα. Έστω M' το μέσο του E'F'.

Παρατηρούμε πως στο τετράπλευρο EE'F'F τα A, M', C, M είναι τα μέσα των πλευρών, επομένως το AM'CM είναι παραλληλόγραμμο. Με άλλα λόγια είναι AM=CM' και CM=AM' (*) και \widehat{AM'C}=\widehat{AMC} (1).

Ταυτόχρονα είναι AE'=AE=BC και CF'=CF=AB (2).

Ακόμη ξέρουμε πως \widehat{AE'M'}+\widehat{CF'M'}=360^o-\widehat{DE'F'}-\widehat{DF'E'}=360^o-(180^o-\widehat{E'DF'}).

Ξέρουμε παρόλα αυτά πως 180^o-\widehat{E'DF'}=\widehat{ABC} λόγω του εγγραψίμου.

Συνεπώς είναι \widehat{AE'M'}+\widehat{CF'M'}=360^o-\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{CBM} (3)

Θέλουμε να αποδείξουμε πως τα τρίγωνα (AE'M', CBM) και (CF'M', ABM) αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων (αν δεν είναι τα τρίγωνα του ενός ζευγαριού ίσα, τότε δεν είναι και στο άλλο καθώς θα ήταν E'M'=F'M'\ne BM).

Πράγματι έστω πως αυτά δεν είναι ίσα.

Επιλέγουμε ένα σημείο L έτσι ώστε BL=E'M'=M'F' και \widehat{ABL}=\widehat{CF'M'} και \widehat{CBL}=\widehat{AE'M'} (αυτό μπορούμε να το κάνουμε σύμφωνα με τη σχέση (3)) και το L να είναι στο άλλο ημιεπίπεδο από το D ως προς την AC.

Τώρα σε συνδυασμό με τη σχέση (2) παίρνουμε πως τα τρίγωνα (AE'M', CBL) και (CF'M', ABL) αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων.

Επομένως χρησιμοποιώντας και την (*) είναι AL=CM'=AM και CL=AM'=CM.

Θεωρούμε τους κύκλους (A, AL) και (C, CL). Αυτοί σύμφωνα με την παραπάνω σχέση τέμνονται στο L και στο M. Όμως αφού και το M και το L ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την AC έχουμε άτοπο.

Επομένως L\equiv M.

Πράγματι λοιπόν τα τρίγωνα (AE'M', CBM) και (CF'M', ABM) αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων.

Επομένως χρησιμοποιώντας και την (1) έχουμε ότι:

\widehat{AM'C}=\widehat{AMC}=\widehat{AMB}+\widehat{CMB}=\widehat{AM'E'}+\widehat{CM'F'}=180^o-\widehat{AM'C}

Άρα \widehat{AMC}=\widehat{AM'C}=90^o.


Houston, we have a problem!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Καθετότητα στο Μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Φεβ 27, 2018 12:18 am

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Δευ Φεβ 26, 2018 11:03 pm
Καθετότητα στο Μέσο.png

Καταρχάς είναι προφανές πως το M βρίσκεται στο διαφορετικό ημιεπίπεδο από το D ως προς την AC.

Έστω E' και F' τα συμμετρικά του E και του F προς τα A και C αντίστοιχα. Έστω M' το μέσο του E'F'.

Παρατηρούμε πως στο τετράπλευρο EE'F'F τα A, M', C, M είναι τα μέσα των πλευρών, επομένως το AM'CM είναι παραλληλόγραμμο. Με άλλα λόγια είναι AM=CM' και CM=AM' (*) και \widehat{AM'C}=\widehat{AMC} (1).

Ταυτόχρονα είναι AE'=AE=BC και CF'=CF=AB (2).

Ακόμη ξέρουμε πως \widehat{AE'M'}+\widehat{CF'M'}=360^o-\widehat{DE'F'}-\widehat{DF'E'}=360^o-(180^o-\widehat{E'DF'}).

Ξέρουμε παρόλα αυτά πως 180^o-\widehat{E'DF'}=\widehat{ABC} λόγω του εγγραψίμου.

Συνεπώς είναι \widehat{AE'M'}+\widehat{CF'M'}=360^o-\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{CBM} (3)

Θέλουμε να αποδείξουμε πως τα τρίγωνα (AE'M', CBM) και (CF'M', ABM) αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων (αν δεν είναι τα τρίγωνα του ενός ζευγαριού ίσα, τότε δεν είναι και στο άλλο καθώς θα ήταν E'M'=F'M'\ne BM).

Πράγματι έστω πως αυτά δεν είναι ίσα.

Επιλέγουμε ένα σημείο L έτσι ώστε BL=E'M'=M'F' και \widehat{ABL}=\widehat{CF'M'} και \widehat{CBL}=\widehat{AE'M'} (αυτό μπορούμε να το κάνουμε σύμφωνα με τη σχέση (3)) και το L να είναι στο άλλο ημιεπίπεδο από το D ως προς την AC.

Τώρα σε συνδυασμό με τη σχέση (2) παίρνουμε πως τα τρίγωνα (AE'M', CBL) και (CF'M', ABL) αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων.

Επομένως χρησιμοποιώντας και την (*) είναι AL=CM'=AM και CL=AM'=CM.

Θεωρούμε τους κύκλους (A, AL) και (C, CL). Αυτοί σύμφωνα με την παραπάνω σχέση τέμνονται στο L και στο M. Όμως αφού και το M και το L ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την AC έχουμε άτοπο.

Επομένως L\equiv M.

Πράγματι λοιπόν τα τρίγωνα (AE'M', CBM) και (CF'M', ABM) αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων.

Επομένως χρησιμοποιώντας και την (1) έχουμε ότι:

\widehat{AM'C}=\widehat{AMC}=\widehat{AMB}+\widehat{CMB}=\widehat{AM'E'}+\widehat{CM'F'}=180^o-\widehat{AM'C}

Άρα \widehat{AMC}=\widehat{AM'C}=90^o.
Ευχαριστώ για την λύση Διονύση. Νομίζω πως φτάνουμε πιο εύκολα στην λύση θεωρώντας το συμμετρικό του A ως προς το M.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3000
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Καθετότητα στο Μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 28, 2018 12:34 am

Πράγματι αν θεωρήσουμε το συμμετρικό του A ως προς το M η λύση απλοποιείται κατά πολύ.
Αφήνω να την γράψει μαθητής .
Τρεις γραμμές είναι.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες