Παλιό " κρασί"

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Παλιό " κρασί"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 21, 2018 12:02 pm

Παλιό κρασί.png
Παλιό κρασί.png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές
Δίδεται κύκλος κέντρου O και μια διάμετρός του AB . Στο ένα ημικύκλιο θεωρούμε τα σταθερά σημεία C,D.

Να προσδιοριστεί σημείο S στο άλλο ημικύκλιο τέτοιο ώστε αν οι SC,SD τμήσουν την ευθεία AB στα K,L αντίστοιχα, να είναι OL = 2OK.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παλιό " κρασί"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 22, 2018 7:45 am

ΚΑΤΑΣΚΕΥΉ.png
ΚΑΤΑΣΚΕΥΉ.png (24.56 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές
Έστω D' το αντιδιαμετρικό του D , M το μέσο της OD' και \theta η γωνία \hat{CD'B} .

Σχεδιάζω γωνία \hat{CMQ}=90^0-\theta , η οποία τέμνει τη μεσοκάθετο

του CM στο Q . Ο κύκλος (Q,QC) τέμνει τη διάμετρο στο σημείο K .

Η CK τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο S . Το L είναι πλέον

η τομή της SD με τη διάμετρο . Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9191
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παλιό " κρασί"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 22, 2018 12:24 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Μαρ 21, 2018 12:02 pm
Παλιό κρασί.png

Δίδεται κύκλος κέντρου O και μια διάμετρός του AB . Στο ένα ημικύκλιο θεωρούμε τα σταθερά σημεία C,D.

Να προσδιοριστεί σημείο S στο άλλο ημικύκλιο τέτοιο ώστε αν οι SC,SD τμήσουν την ευθεία AB στα K,L αντίστοιχα, να είναι OL = 2OK.
Στην ουσία η ίδια κατασκευή. Γράφω απλώς την ανάλυση.
Παλιό κρασί.png
Παλιό κρασί.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές
Ανάλυση: Έστω S το ζητούμενο σημείο. Επειδή τα σημεία C, D είναι σταθερά, η γωνία C\widehat SD=\theta έχει σταθερό μέτρο.

Προεκτείνω την DO κατά τμήμα OM=\dfrac{R}{2}. Είναι \displaystyle \frac{{DO}}{{OM}} = \frac{{OL}}{{OK}} = 2 \Leftrightarrow MK||DS \Leftrightarrow M\widehat KS = \theta και

\boxed{\omega  = {180^0} - \theta } , δηλαδή σταθερή. Το σημείο K λοιπόν ορίζεται ως η τομή δύο γεωμετρικών τόπων. Της διαμέτρου AB

και του τόξου σταθερής χορδής MC που δέχεται γωνία \omega. Στη συνέχεια η κατασκευή είναι απλή.


ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ: Η ίδια κατασκευή γίνεται και στην περίπτωση που \displaystyle \frac{{OL}}{{OK}} = \lambda, αρκεί να θεωρήσουμε το σημείο M, έτσι ώστε

\displaystyle \frac{{OD}}{{OM}} = \lambda (με τη σχετική διερεύνηση)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παλιό " κρασί"

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 22, 2018 6:44 pm

Κρασί.png
Κρασί.png (23.73 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές
Εν γνώσει του Νίκου παραθέτω και την εξής απλούστερη εκδοχή της κατασκευής :

Αν D' το αντιδιαμετρικό του D και M το μέσο της OD' , τότε

η τομή του κύκλου (C,M,D') με τη διάμετρο , δίνει το σημείο K .

Πράγματι είναι \hat{MKS}=\theta ( εξωτερική εγγεγραμμένου ) , οπότε KM\parallel BS ,

συνεπώς : \dfrac{OK}{OL}=\dfrac{OM}{OD}=\dfrac{1}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες